미적분 (6) - 미적분의 기본 정리

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극한: http://dimenchoi.tistory.com/18
미분(1) - 미분의 정의와 계산법: http://dimenchoi.tistory.com/19
미분(2) - 미분 공식: https://dimenchoi.tistory.com/33
적분(1) - 적분의 의미와 부정적분: https://dimenchoi.tistory.com/34
적분(2) - 정적분의 정의: https://dimenchoi.tistory.com/35
적분(3) - 미적분의 기본 정리: https://dimenchoi.tistory.com/36

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저번에는 정적분의 정의를 소개해 드렸는데요,

오늘은 이 정적분이 부정적분과 무슨 관련이 있는지! 이를 보도록 하겠습니다.

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미적분의 기본 정리

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갑자기 엄청 간지나는 용어가 떴습니다. "미적분의 기본 정리"

그런데 사실 이미 우리가 아는 내용입니다. 제가 정적분 편에서 미리 소개해 드렸거든요.

\[ \int^b_a f(x)dx = F(b) - F(a) \quad (F(x)\text{는 } f(x)\text{의 부정적분}) \]

위의 식이 바로 ​미적분의 기본 정리​입니다(정확히는 두번째 미적분의 기본 정리입니다. 첫번째는 이후에 나옵니다.)

다시 말하지만 이는 정적분의 정의가 아닌 정적분의 성질입니다. 정적분의 정의는 다음과 같았죠.

\[ \int^b_a f(x) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k) \frac{b-a}{n} \quad \left( x_k = a+k\frac{b-a}{n} \right) \]

그렇다면 정적분의 정의를 이용해서 위의 미적분의 기본 정리를 증명해보도록 합시다!

 

 

미적분의 기본 정리의 증명

 

$x$축 위의 임의의 점 $t$를 설정하겠습니다. (다른 참고서에서는 $t$축 위의 임의의 점 $x$를 설정하기도 하는데 별로 상관없습니다)

여기서 저 색칠된 면적 $S(t)$를 정적분의 정의로부터 다음과 같이 구할 수 있습니다.

\[ S(t) = \int^t_a f(x) dx \]

이를 위해 $t$로부터 작은 거리 $\Delta t$만큼 떨어져 있는 넓이를 생각해 보겠습니다.

​여기서 $S(t+\Delta t)$와 $S(t)$의 넓이의 차이를 $\Delta S$로 정의하면, $\Delta S$는 다음 면적과 같습니다.

 

여기서 $t$부터 $t+\Delta t$ 중 최대 높이를 $M$, 최소 높이를 $m$이라고 합시다.

그렇다면 $M\Delta t$는 다음 넓이와 같고

$m\Delta t$는 다음 넓이와 같으며

$M\Delta t$, $m\Delta t$, $\Delta S$의 크기(넓이)는 다음 그림에서 보이듯이 $m\Delta t \leq \Delta S \leq M\Delta t$입니다.

$m\Delta t \leq \Delta S \leq M\Delta t$. 이 부등식에서 양변을 $\Delta t$로 나누면 $m \leq \Delta S/\Delta t \leq M$ 입니다.

 

자 이제 준비과정은 끝났습니다. 여기서 $\Delta t$를 0으로 보내면 정적분의 기본 정리를 보일 수 있습니다.
즉 부등식 $\lim_{\Delta t \rightarrow 0} m \leq \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta S}{\Delta t}\leq \lim_{\Delta t \rightarrow 0} M$을 생각해 보겠습니다.
$\Delta t$가 0으로 가면 $m$과 $M$은 $f(t)$로 수렴합니다.
부등식의 왼쪽과 오른쪽의 $f(t)$로 수렴하니 가운데 $\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta S}{\Delta t}$도 $f(t)$로 수렴할 것입니다.
한편 미분의 정의에 의해 $\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta S}{\Delta t}=S'(t)$입니다.

따라서 $S'(t) = f(t)$가 성립합니다!

 

혹시 아까전 까막득한 위에서

\[ S(t) = \int^t_a f(x)dx \]

라고 정의한 걸 기억하시련지요. 이 값을 S'(t)=f(t)에 넣어줍시다.

\[ S'(t) = \frac{d}{dx} \int^t_a f(x)dx \]

바로 이 식이 첫번째 정적분의 기본 정리입니다.

두번째 정적분의 기본 정리를 향해 계속 달려봅시다.

$S'(t) = f(t)$이므로 양변을 부정적분하면 $S(t) = F(t) + C$입니다.

여기서 $F(t)$는 $f(t)$의 원시함수고, $C$는 적분상수입니다.

 

그런데 여기서 $t=a$일 때 $S(t)=0$이 됨을 알고 있습니다. ($t=a$이면 그냥 선이라 넓이가 없습니다)

따라서 $t=a$를 대입하면 $S(a) = 0 = F(a) + C$가 됩니다.

따라서 $C = -F(a)$임을 알 수 있습니다.

 

자 이제 진짜 마지막입니다. 이 $C=-F(a)$ 값을 $S(t)=F(t)+C$에 대입하면

\[ S(t) = F(t) - F(a) \]

가 나옵니다.

여기서 $t$를 $b$로 바꾸고 $S(t)$의 정의를 다시 적어주면 ​미적분의 기본 정리가 나옵니다!​

\[ \int^b_a f(x)dx = F(b) - F(a) \]

증명 끝..!

 

이대로 끝내면 섭섭하니까 정적분 문제 하나만 풀고 미적분 시리즈를 마치도록 하겠습니다.

 

 

저기 색칠한 넓이를 구해봅시다.

\[ \text(넓이) = \int^3_1 x^2 dx = \frac{1}{3}3^3 - \frac{1}{3}1^3 = \frac{26}{3} \]

가끔씩 이렇게 정적분을 이용해 넓이를 구했는데 마이너스 값이 나올 때가 있습니다.

이를 테면 이런 경우죠.

 

여기서 색칠한 넓이를 구해보면

\[ \text(넓이) = \int^3_1 -x^2 dx = -\frac{1}{3}3^3 - \left(-\frac{1}{3}1^3\right) = -\frac{26}{3}? \]
이렇게 $-y$축으로 가있는 넓이는 정적분을 이용해 구하면 마이너스 값이 나옵니다.

그래서 $-y$축으로 가있는 넓이는 정적분을 한 후 마이너스를 곱해야 합니다.

\[ \text(넓이) = -\int^3_1 -x^2 dx = \frac{1}{3}3^3 - \frac{1}{3}1^3 = \frac{26}{3} \]

한편 이렇게 구불구불해서 $+y$축으로도 넓이가 가있고 $-y$축으로 넓이가 있는 경우에는

①의 넓이는 정적분 값을 그대로 쓰고 ②의 넓이는 정적분 값에 마이너스를 취해줘야 합니다.

 

 

이를 보다 일반적으로 표기하자면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\[a\text{부터 } b\text{까지의 넓이} = \int^b_a |f(x)|dx \]

 

이로써 미적분 시리즈를 모두 마칩니다.

지금까지 끝까지 읽어주신 분들 너무 감사하고요, 그 어렵다는 미적분을 이해하신 것을 축하합니다!

한가지 당부드릴 점은, 제가 보여준 미적분은 미적분의 빙산의 일각입니다. 말 그대로.

그래서 어디가서 "나는 미적분을 정복했다"라고 자만하지 마시고,

항상 겸손한 자세로 지내며 미적분을 더 깊게 공부하며 미적분의 진짜 참재미를 맛 보실수 있으면 좋겠습니다 :)

 

이상 Dimen 이었습니다!