미적분 (5) - 정적분의 정의

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극한: http://dimenchoi.tistory.com/18
미분(1) - 미분의 정의와 계산법: http://dimenchoi.tistory.com/19
미분(2) - 미분 공식: https://dimenchoi.tistory.com/33
적분(1) - 적분의 의미와 부정적분: https://dimenchoi.tistory.com/34
적분(2) - 정적분의 정의: https://dimenchoi.tistory.com/35
적분(3) - 미적분의 기본 정리: https://dimenchoi.tistory.com/36

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드디어 미적분의 클라이맥스, 폭풍간지 구간 정적분​입니다.

그리고 제 계획대로라면 이 정적분으로 미적분 시리즈도 다 끝나겠네요.

이후 미적분 내용, 유리함수/삼각함수/지수함수의 미적분이라든가 연쇄 규칙(Chain Rule)이라든가는

이후 포스팅에서​ 개별적으로 다룰 생각입니다

그럼 이제 미적분의 고지를 향해 달려볼까요?

​

 

​정적분이란?

 

​제가 이전 부정적분 포스팅(http://blog.naver.com/a4gkyum/220938458538)에서

적분을 소개하며 원을 쪼개서 직사각형으로 만드는 예와 귤껍질 예를 들었었죠? 그게 ​정적분​입니다.

사실 적분이라고 하면 대부분 정적분을 말하는 겁니다. 제가 앞에서 말했듯이 부정적분은 사실상 의미없는 연산이거든요.

 

​"그래서 부정적분하고 정적분하고 차이가 뭐에요?"

 

​음, 복습도 해볼겸 $2x$를 부정적분 해봅시다.

 

\[ \int 2x dx = \frac{2}{1+1}x^{1+1} dx = x^2+C \]

 

여기서 $C$는 적분상수였죠. 적분상수가 들어가는 이유는, 모든 상수는 미분하면 $0$이 되니까

반대로 임의의 식을 적분하면 모든 상수가 튀어나올 수 있기 때문에 이 '모든 상수'를 대표해서 $C$를 써주는 거였습니다.

그래서 이 $C$의 값이 정해지지 않은, 부정(不定)한 값이기 때문에 이 연산의 이름이 부정적분이었죠.
이것이 부정적분의 메인 특징이자, 부정적분의 치명적인 ​단점​입니다.

결과값이 정해지지 않은 연산, 구체적인 값이 없는 연산은 아무짝에 쓸모가 없죠.

이 단점을 극복한 것이 바로 정적분​입니다.

 

포인트는 바로 이것입니다.

​두 개의 구체적인 값을 대입한 후, 두 값을 빼서 $C$를 날려버리자.

 

아까전의 예를 들면 $2x$를 부정적분하면 $x^2+C$이었죠?

여기에, 이를테면 $6$하고 $3$을 대입해보면 $36+C$하고 $​9+C$가 나옵니다.

여기서 $C$를 날려버리기 위해 두 값을 빼는 거에요! 그러면 $C$는 날라가고 $27$이라는 ​정해진 값​이 나오죠.

이것이 바로 ​정적분​입니다.

(사실 수학적으로 정확한 설명은 아니지만 이게 처음에 정적분을 받아들이기 쉬워서 일단은 이렇게 설명하겠습니다)

 

이것을 수식으로는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

\[ \int^6_3 2x dx = 27 \]

 

일반적으로 정적분은 다음과 같이 표기하고 계산합니다.

 

\[ \int f(x) dx = F(x) + C \quad \text{일 때} \quad \int^b_a f(x) dx = F(b) - F(a) \]

 

이 값을 '$a$부터 $b$까지 정적분한 값', '$a$부터 $b$까지 적분한 값'라고 말합니다.

왜 $b$부터 $a$까지 정적분한다가 아니라 $a$부터 $b$까지 정적분한다인지는 좀 있다 나옵니다.

 

쉽죠? 그럼 연습해볼까요?

 

1) $ \int^3_1 (3x^2 + 4x + 1) dx $ 는?

 

$ \int (3x^2 + 4x + 1) dx = x^3 + 2x^2 + x + C $ 이므로 $ \int^3_1 (3x^2 + 4x + 1) dx= (3^3 + 2\cdot 3^2 + 3) - (1^3 + 2 \cdot 1^2 + 1) = 44$

 

 

2) $ \int^{-2}_4 (-x^3 + 2x + 3) dx $는?

 

$ \int (-x^3 + 2x + 3) dx = -\frac{1}{4}x^4 + x^2 + 3x + C $ 이므로 $ \int^{-2}_4 (-x^3 + 2x + 3) dx = \left\lbrace -\frac{1}{4}(-2)^4 + (-2)^2 + 3 \cdot (-2) \right\rbrace - \left( -\frac{1}{4}\cdot 4^4 + 4^2 + 3\cdot 4 \right) = 30$

 

 

3) $\int^1_2 x d$x는?

 

$ \int x dx = \frac{1}{2}x^2 + C $ 이므로 $\int^1_2 x dx = \left( \frac{1}{2} 1^2 \right) - \left( \frac{1}{2} 2^2 \right)=-\frac{3}{2}$

 

 

​"그런데 이 정적분이 무엇을 의미하는거죠?"

​제가 저번 글에서 '정적분은 그래프 아래의 면적을 의미합니다' 라고 스포일러를 했었던 거 기억하나요?

 

$f(x)$의 그래프가 다음과 같다고 해봅시다.

 

믿거나 말거나,

 

\[ \int_a^b f(x)dx \]

 

위 식의 값은 아래 그림에서 색칠한 면적의 크기입니다.

왜 그럴까요? 일단 개요를 간단히 알려 드리고 자세한 수학적 증명은 뒤에서 하도록 하겠습니다.

 

$a$부터 $b$까지의 넓이를 구하기 위해 $a$부터 $b$까지를 다음과 같이 10등분하겠습니다.

요렇게 직사각형으로 쪼개는 것을 구분구적법이라고 합니다.

 

이렇게 직사각형으로 나누면 가로는 모두 $(b-a)/10$ 이고 $n$번째 직사각형의 높이는 $f(x_n)$이 되므로 면적의 합은

\[ \text{면적} = f(x_1) \frac{b-a}{10} + f(x_2) \frac{b-a}{10} + f(x_3) \frac{b-a}{10} + \cdots + f(x_{10}) \frac{b-a}{10} = \sum_{k=1}^{10} f(x_k) \frac{b-a}{10} \]

오른쪽 저 초간지 $\Sigma$기호는 모든 항의 합을 나타내는 기호입니다.

알고 계시면 앞으로의 이해가 좀 더 수월하실 겁니다.

 

그런데 위의 저 면적은 아직 우리가 원하는 면적과는 거리가 멉니다. 특히 저 곡선 부분.

그래서 요 직사각형을 좀 더 세밀하게 나눠보도록 하겠습니다.

 

 

​첨자는 써봤자 그림만 더 더려워질거니까 생략하겠습니다.

저 그림은 $a$부터 $b$까지를 23등분한 그림입니다.

보시면 곡선 부분이 아까전 10등분 그림보다 훨씬 더 매끄러워진 것을 볼 수 있습니다.

이 직사각형들의 총 합은 위와 똑같은 방법으로 다음과 같이 구할 수 있습니다.

\[ \text{면적} = f(x_1) \frac{b-a}{23} + f(x_2) \frac{b-a}{23} + f(x_3) \frac{b-a}{10} + \cdots + f(x_{23}) \frac{b-a}{23} = \sum_{k=1}^{23} f(x_k) \frac{b-a}{23} \]

​근데 아직도 완전한 곡선은 아니잖아요

 

​그렇죠. 하지만 위 두 그림을 통해

$a$부터 $b$까지의 구간을 더 많은 직사각형으로 나눌수록 우리가 구하고자 하는 넓이에 가까워짐을 알 수 있습니다.

​

​그래도 아무리 많이 자른다 해도 저 곡선 부분의 넓이는 절대 같아질 수 없잖아요

​아니요, ​무한히​ 많이 자르면 같아집니다.

몇번째 우려먹는 예인지는 모르겠지만

 

\[0.99999 \cdots =1\]

 

이 예를 보고 아무리 소수점 밑에 9가 많다 한들 절대 1이 될 수 없다고 하셨을 겁니다.

하지만 9가 무한히 많아지면 1과 ​같은​ 수가 되는 것처럼 직사각형으로 ​무한히​ 많이 쪼개면 곡선 부분의 넓이도 ​같아집니다​.(정확한 원리는 해석학에서 리만 합이라는 개념을 가져와서 설명합니다)

 

그럼 직사각형을 무한히 많이 자른다는 것은 위 식에서 $n$이 무한히 커진다는 뜻이므로 극한을 이용해서 표현하면

\[ \text{면적} = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k) \frac{b-a}{n} \quad \left( x_k = a+k\frac{b-a}{n} \right) \]

위와 같이 쓸 수 있습니다.

그런데 리미트를 일일이 쓰기가 귀찮죠? 식도 되게 외우기 어려워 보이고..

그래서 이 식에서 리미트를 없애는 것으로 $\Sigma$를 $\int$으로 바꾸고 $\frac{b-a}{n}$을 $dx$로 바꿔서 다음과 같이 씁니다. 

\[ \text{면적} = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k) \frac{b-a}{n} = \int^b_a f(x)dx \]

​잠깐만요, 우변의 식은 정적분이잖아요​

 

​네, 우변의 식은 정적분 맞습니다.

​이 식이 바로 정적분의 정의입니다.

 

​응? 정적분의 정의는 이거 아닌가요?

\[ \int f(x) dx = F(x) + C \quad \text{일 때} \quad \int^b_a f(x) dx = F(b) - F(a) \]

아, 저건 ​정적분의 성질(계산법)​입니다, 정의는 저 복잡한 리미트 시그마 식입니다.

다시 위로 올라가시면 제가 저걸 '정적분은 이렇게 표기하고 계산합니다' 라고 했지

절대 '정적분은 이렇게 정의합니다'라고 하지 않았습니다. (빅픽처)

단지 여러분들이 처음부터 리미트 시그마 식을 똭 보면 당황스러울 거니까 좀 더 친숙한 부정적분 식을 먼저 소개한 것 뿐이죠.

 

​그렇다면

\[ \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k) \frac{b-a}{n} = F(b) - F(a) \]

란 말인데, 왜 이런 관계가 성립하는지에 대해서는 다음 포스팅에서 하도록 하겠습니다.