수학/미적분학 썸네일형 리스트형 칸토어 함수 (Cantor Function) Almost everywhere을 번역해서 '거의 모든'이라고 썼는데 찾아보니까 '거의 어디서나'가 더 널리 쓰이는 표현이네요. 엄밀한 정의를 덧붙이자면 거의 어디서나 어떤 명제가 성립한다는 것은 어떤 영집합을 제외한 모든 점에서 명제가 성립한다는 의미입니다. 그니까 공집합도 영집합이므로, '어디서나(everywhere)'이면 '거의 어디서나(almost everywhere)'입니다. 칸토어 집합 글: https://www.facebook.com/pseudomath/posts/725115861202223 보안 확인 필요 메뉴를 열려면 alt + / 키 조합을 누르세요 www.facebook.com 더보기 다르부의 정리 Theorem. $f(x)$가 미분 가능한 함수이고 실수 $a, b$에 대하여 $f'(a) \neq f'(b)$일 때, $f'(a)$와 $f'(b)$ 사이의 값 $k$에 대하여 $f'(c)=k$를 만족하는 $c\in(a, b)$가 존재한다. 사이값 정리를 떠올리면 당연해 보이기도 하지만, 도함수는 연속함수가 아닐 수도 있다는 점을 생각하면 이 정리는 꽤나 신기하다. (도함수가 연속함수가 아닌 함수의 예로는 $f(x)=x^2\sin\frac{1}{x}$가 있다.) 때문에 이 정리는 사이값 정리의 역은 성립하지 않는다는 예시이기도 하다. 즉, 주어진 구간 내에서 함수의 사이값 정리가 성립한다고 그 함수가 연속함수인 것은 아니다. 증명 Lemma 1. $f:[a, b]\rightarrow \mathbb{R}$.. 더보기 복소수 지수 정의하기 - i의 i제곱은? 제가 많은 사람들로부터 받는 질문 중 복소수와 관련된 것이 많습니다. - $\sqrt{i}$ 는 뭔가요? - $\sqrt{\sqrt{i}}$는 뭔가요? - $i^i$는 뭔가요? 사실 이 질문들은 근본적으로 이것을 묻고 있습니다. 복소수의 거듭제곱은 어떻게 계산하나요? 왜냐하면 $\sqrt{i}$도 $i^{1/2}$로 쓸 수 있고, $\sqrt{\sqrt{i}}$도 $i^{1/4}$로 쓸 수 있기 때문에 위의 질문들은 근본적으로 "복소수의 거듭제곱을 정의할 수 있나"에 대해서 물어보는 겁니다. 그리고 제 저번 포스팅을 읽으신 분이라면 부분적으로나마나 복소수 지수는 정의할 수 있다라는 것에 대해서 알 것입니다. 바로 요 식에서 복소수 지수가 처음으로 등장했었죠. (https://dimenchoi.tistor.. 더보기 미적분 (6) - 미적분의 기본 정리 글 리스트 극한: http://dimenchoi.tistory.com/18 미분(1) - 미분의 정의와 계산법: http://dimenchoi.tistory.com/19 미분(2) - 미분 공식: https://dimenchoi.tistory.com/33 적분(1) - 적분의 의미와 부정적분: https://dimenchoi.tistory.com/34 적분(2) - 정적분의 정의: https://dimenchoi.tistory.com/35 적분(3) - 미적분의 기본 정리: https://dimenchoi.tistory.com/36 저번에는 정적분의 정의를 소개해 드렸는데요, 오늘은 이 정적분이 부정적분과 무슨 관련이 있는지! 이를 보도록 하겠습니다. 미적분의 기본 정리 갑자기 엄청 간지.. 더보기 미적분 (5) - 정적분의 정의 글 리스트 극한: http://dimenchoi.tistory.com/18 미분(1) - 미분의 정의와 계산법: http://dimenchoi.tistory.com/19 미분(2) - 미분 공식: https://dimenchoi.tistory.com/33 적분(1) - 적분의 의미와 부정적분: https://dimenchoi.tistory.com/34 적분(2) - 정적분의 정의: https://dimenchoi.tistory.com/35 적분(3) - 미적분의 기본 정리: https://dimenchoi.tistory.com/36 드디어 미적분의 클라이맥스, 폭풍간지 구간 정적분입니다. 그리고 제 계획대로라면 이 정적분으로 미적분 시리즈도 다 끝나겠네요. 이후 미적분 내용, 유리함수/삼각함수/지수.. 더보기 미적분 (4) - 적분의 의미와 부정적분 글 리스트 극한: http://dimenchoi.tistory.com/18 미분(1) - 미분의 정의와 계산법: http://dimenchoi.tistory.com/19 미분(2) - 미분 공식: https://dimenchoi.tistory.com/33 적분(1) - 적분의 의미와 부정적분: https://dimenchoi.tistory.com/34 적분(2) - 정적분의 정의: https://dimenchoi.tistory.com/35 적분(3) - 미적분의 기본 정리: https://dimenchoi.tistory.com/36 적분이란? 일단 적분이 뭘까요? 왠지 미분이 '잘게 나누는 것'이었으니까 적분은 '나눈 것을 다시 모으는 것'이라고 자연스럽게 떠오를 것입니다(아닌가요?) 또 한자를 조금 아.. 더보기 미적분 (3) - 미분 공식 글 리스트 극한: http://dimenchoi.tistory.com/18 미분(1) - 미분의 정의와 계산법: http://dimenchoi.tistory.com/19 미분(2) - 미분 공식: https://dimenchoi.tistory.com/33 적분(1) - 적분의 의미와 부정적분: https://dimenchoi.tistory.com/34 적분(2) - 정적분의 정의: https://dimenchoi.tistory.com/35 적분(3) - 미적분의 기본 정리: https://dimenchoi.tistory.com/36 미분을 할 때마다 \[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{\Delta x} \] 를 대입하는 건 아무래도.. 더보기 오일러 공식 증명 - 세상에서 가장 아름다운 수식 수학자들을 대상으로 물어봤을 때, 가장 아름답다고 느끼는 공식이 무엇일까요? 바로 오늘, 수학자들이 뽑은 가장 아름다운 공식에 대해 살펴보도록 하겠습니다. 테일러 전개 저번 글에서 테일러 전개에 대해 살펴봤었습니다: https://dimenchoi.tistory.com/30 $\sin x$, $\cos x$, 그리고 $e^x$의 테일러 전개가 다음과 같음을 살펴봤었죠. \[ \begin{align*} e^x &= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \\ \sin x &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\ \cos x &= 1 - \frac{x.. 더보기 이전 1 2 다음
