복소수 지수 정의하기 - i의 i제곱은?

제가 많은 사람들로부터 받는 질문 중 복소수와 관련된 것이 많습니다.

 

- $\sqrt{i}$ 는 뭔가요?

- $\sqrt{\sqrt{i}}$는 뭔가요?

- $i^i$는 뭔가요?

 

사실 이 질문들은 근본적으로 이것을 묻고 있습니다.

 

복소수의 거듭제곱은 어떻게 계산하나요?

 

왜냐하면 $\sqrt{i}$도 $i^{1/2}$로 쓸 수 있고, $\sqrt{\sqrt{i}}$도 $i^{1/4}$로 쓸 수 있기 때문에

위의 질문들은 근본적으로 "복소수의 거듭제곱을 정의할 수 있나"에 대해서 물어보는 겁니다.

그리고 제 저번 포스팅을 읽으신 분이라면 부분적으로나마나 복소수 지수는 정의할 수 있다라는 것에 대해서 알 것입니다.

바로 요 식에서 복소수 지수가 처음으로 등장했었죠. (https://dimenchoi.tistory.com/31)

$$e^{ix} = i\sin x + \cos x$$

오일러의 공식

 

바로 좌변에 허수 $i$가 지수로 들어가 있습니다.

즉 거듭제곱이라는 연산이 복소수까지 확장될 수 있다는 것을 암시해주죠.

예를 들어서 $x=\pi$ 를 대입해주면..

$$e^{i\pi} = -1$$

자칭타칭 세상에서 가장 아름다운 식

 

이 됩니다. 여기서 지수를 복소수까지 확장했을 때는 양수의 거듭제곱도 음수가 될 수도 있다는 점을 알 수 있죠.

 

그런데 이 식만으로는 밑이 $e$이고 지수가 순허수($-2.5i$, $3i$ 등 $ai$꼴의 복소수)인 복소수 지수밖에 정의할 수 없다는 단점이 있죠.

그렇다면 이번에 이 식을 적당히 변형해서 보다 일반적으로 복소수 지수에 대해 정의할 수 있는 방법을 살펴보겠습니다.

 

 

 

일단 지수부터 고치자 

 

일단 지수가 순허수밖에 안된다는 점부터 수정해 줍시다.

이건 쉬워요. 왜냐하면 양변에 $e^a$만 곱해주면 되거든용

$$\begin{align*} e^{bi} &= i \sin b + \cos b \\ e^{a+bi} &= e^a(i \sin b + \cos b) \end{align*}$$

 

밑도 고쳐야지 

 

알겠어요 밑도 고칠게요. 

$a=p \ln x, b = q \ln x$로 치환하면 다음과 같이 됩니다.

$$\begin{align*} e^{p \ln x + q \ln x} &= e^{(p+qi)\ln x} \\ &= x^{(p+qi)} \end{align*}$$

따라서 다음 식이 성립하게 됩니다.

$$\begin{align*} x^{p+qi} &= e^{p \ln x + qi \ln x} \\ &= e^{p\ln x}(i \sin (q \ln x) + \cos (q \ln x)) \end{align*}$$

이렇게 하면 밑이 실수고 지수가 복소수인 모든 수를 정의할 수 있게 됩니다!!

이를 토대로 $2^{3-i}$ 를 구해보도록 하겠습니다.

$$\begin{align*} 2^{3-i} &= e^{3\ln 2}(i\sin(-\ln 2) \cos(-\ln 2)) \\ &= 6.1539... - 5.111... i \end{align*}$$

계산하면 위와 같은 값이 나옵니다.

그럼 실제로도 $2^{3-i}$가 저렇게 나오는지 한번 확인해 볼까요?

 

 

갓 울프럼 알파에 넣어보니 과연 $2^{3-i} = 6.153... - 5.111... i$를 내뱉는 것을 볼 수 있습니다!

 

 

근데 밑도 복소수일 때에는..? 

이제 "좋아 난 복소수 지수를 배웠어! 한번 $i$의 $i$제곱을 계산해 봐야지!!"하시는 분들이 있을 지도 모르겠습니다.

실제로 $i^i$를 위의 정의대로 계산해 보면...

$$\begin{align*} i^i &= i^{0+1i} &= e^{0\ln i}(i \sin(1\cdot \ln i) + \cos(1\cdot \ln i)) \\ &= \cdots ? \end{align*}$$  

;;;다소 난감한 상황이 발생합니다. 바로 복소수 로그가 튀어나와 버린다는 점이죠.;;;

하지만 괜찮습니다! 복소수 지수도 정의했는데 복소수 로그 까짓것 그냥 해버리면 되죠!

$\ln(a+bi)$를 구해보도록 합시다.

만능 오일러 공식의 양변에 $r$을 곱해 보겠습니다.

  $$re^{ix} = r(i \sin x + \cos x)$$

여기서 $r$과 $x$의 각각 다음 값들을 대입해 보겠습니다.

(이 치환이 좀 뜬금없어 보일 수도 있는데, 극형식의 개념에서 빌려오는 겁니다)

$$r=\sqrt{a^2+b^2}, \quad \tan x = \frac{a}{b}$$

$\tan x=a/b$일 때 $\sin x, \cos x$를 다음과 같이 구할 수 있습니다. 

 

이 값들을 오일러 공식에 대입해 보면..

$$\begin{align*} re^{ix} &= r(i \sin x + \cos x) \\ &= \sqrt{a^2+b^2}\left( i\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \right) \\ &= ai + b \end{align*}$$

따라서 양변에 로그를 씌우면 우리가 원했던 복소수 로그값을 얻어낼 수 있습니다! 

  $$\begin{align*}  \ln(ai + b) &= \ln(re^{ix}) \\  &= \ln(r) + \ln e^{ix} \\  &= ix + \ln r \\ \\ \text{where } r=\sqrt{a^2+b^2}&,\quad x=\tan^{-1}\frac{a}{b} \end{align*}$$

($\tan^{-1}(a/b)$는 $\tan x = a/b$ 인 $x$를 의미합니다)

그렇다면 다시 한번 $i^i$값을 계산해 봅시다.

$$\begin{align*}  i^i &= i^{0+1i} \\ &= e^{0\ln i}(i \sin(1\cdot \ln i) + \cos(1\cdot \ln i)) \\  \ln i &= \ln(1i+0) \\  &= i\left( \tan^{-1}\frac{1}{0} \right) + \ln(\sqrt{1^2+0^2})  \end{align*}$$  

여기서 $\tan^{-1}(1/0)$가 튀어나오게 됩니다.

"$1/0$ 같은 건 없잖아요..?! 그러면 $i^i$는 정의되지 않는 건가요?"

 

아뇨, $\tan \pi/2 \rightarrow \infty$ 라는 점을 고려하면, $\tan^{-1}(1/0)$은 $\pi/2$로 쓸 수 있습니다. 따라서...

$$\ln i = i\frac{\pi}{2} + \ln i = \frac{\pi i}{2}$$

입니다. 그래서 이를 대입해 보면...

$$i^i = i\sin\left( \frac{\pi}{2}i \right) + \cos\left( \frac{pi}{2}i \right)$$

가 되는데요.....

".....저기 지금 삼각함수 안에 복소수가 들어가 있는데요..? 잘못된 거 아니에요..?" 

 

휴우...정말이지 복소수 지수는 정의하기 쉽지 않은 거네요...

사실 삼각함수도 복소수를 대입할 수 있습니다. 

복소수 함수는 다음과 같이 정의합니다(http://blog.naver.com/a4gkyum/221019537072)

  $$\sin ix = \frac{e^{-x}-e^x}{2i} \quad \cos ix = \frac{e^{-x}+e^x}{2}$$  

그러면 $\sin(\pi i/2)$와 $\cos(\pi i/2)$를 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

$$\sin \frac{i\pi}{2} = \frac{e^{-\frac{\pi}{2}}-e^{\frac{\pi}{2}}}{2i} \quad \cos ix = \frac{e^{-\frac{\pi}{2}}+e^{\frac{\pi}{2}}}{2}$$

요 값들을 쇽쇽 대입해 주면...

$$\begin{align*} i^i &= i\sin \left(\frac{\pi}{2}i\right)+\cos \left(\frac{\pi}{2}i\right) \\ &= i\frac{e^{-\frac{\pi}{2}}-e^{\frac{\pi}{2}}}{2i}+\frac{e^{-\frac{\pi}{2}}+e^{\frac{\pi}{2}}}{2} \\ &= \frac{e^{-\frac{\pi}{2}}-e^{\frac{\pi}{2}}+e^{-\frac{\pi}{2}}+e^{\frac{\pi}{2}}}{2} \\ &= e^{-\frac{\pi}{2}} \end{align*}$$  

이렇게 해서 기나긴 과정 끝에 다음과 같이 놀랍고 아름다운 결과를 얻게 되었습니다.

$$i^i = e^{-\frac{\pi}{2}}$$

이로부터 $i^i$가 실수라는 사실을 알 수 있습니다. 이는 제가 특히나 좋아하는 식입니다. 

왜냐하면 이 값을 실제로 계산해 보면 약 $0.207...$이 나옵니다.

 

 

 

이거 제 생일입니다 >< (2월 7일생)

 

 

 

복소수 거듭제곱에 대한 잡담 좀 더

 

어렵사리 일반적인 복소수 지수를 계산할 수 있게 됐습니다만, 복소수 지수는 치명적인 단점이 있습니다.

바로 복소수 거듭제곱은 여러 개의 값을 가질 수도 있다는 점입니다.

 

우리가 아까전에 $\tan \pi/2 \rightarrow \infty$라는 점을 고려해 $x=\pi/2$로 정했습니다만,
일반각의 개념을 도입하면 $x=5\pi /2, 9\pi /2, 13\pi /2, \cdots , (\pi/2)+2n\pi$ 인 모든 $x$에 대해 $\tan x \rightarrow \infty$ 가 나옵니다.
따라서 $x$는 여러 개의 값을 가질 수 있고, 이에 따라 복소수 거듭제곱도 여러 개의 값이 나올 수 있는 것이죠.
 

그럼에도 복소수 지수는 매우 강력한 연산입니다.

왜냐하면 복소수 지수가 복소평면이라는 분야로 넘어오게 되면, 복소수 지수가 회전을 나타내는 연산으로 쓰이기 때문입니다. 그리고 복소수 지수가 여러 값이 나오는 것은 여러 번 회전했을 때 같은 위치에 다다르는 것과 대응됩니다.

일단 저희 블로그에서 복소평면은 다룬 적도 없고, 왜 복소수 지수가 회전을 나타내는지 설명하자면 

이미 충분히 긴 포스팅이 두배로 길어질 것 같기 때문에 일단은 여기서 끝내도록 하겠습니다.

 

 

그럼, Dimen이었습니다. 20000!