다르부의 정리

Theorem. $f(x)$가 미분 가능한 함수이고 실수 $a, b$에 대하여 $f'(a) \neq f'(b)$일 때, $f'(a)$와 $f'(b)$ 사이의 값 $k$에 대하여 $f'(c)=k$를 만족하는 $c\in(a, b)$가 존재한다.

 

사이값 정리를 떠올리면 당연해 보이기도 하지만, 도함수는 연속함수가 아닐 수도 있다는 점을 생각하면 이 정리는 꽤나 신기하다. (도함수가 연속함수가 아닌 함수의 예로는 $f(x)=x^2\sin\frac{1}{x}$가 있다.) 때문에 이 정리는 사이값 정리의 역은 성립하지 않는다는 예시이기도 하다. 즉, 주어진 구간 내에서 함수의 사이값 정리가 성립한다고 그 함수가 연속함수인 것은 아니다.

증명

Lemma 1. $f:[a, b]\rightarrow \mathbb{R}$이 미분가능하고 $f'(a) > 0$이면, $f(a)$는 $f$의 최댓값이 아니다.
Lemma 2. $f:[a, b]\rightarrow \mathbb{R}$이 미분가능하고 $f'(b) < 0$이면, $f(b)$는 $f$의 최댓값이 아니다.

 

Lemma 1을 증명한다. Lemma 2의 증명은 거의 비슷하다.

 

만약 $\forall r ; f(a) \geq f(r)$이라면, $\frac{f(r)-f(a)}{r-a}$는 음수가 되고, $r \rightarrow a$일 때 $f'(a) \leq 0$이 된다. 이는 가정에 모순이다. 따라서 $f(a)$는 최댓값이 아니다.

 

위의 두 Lemma를 활용해 본 정리를 증명하자.

 

함수 $g(x) = kx - f(x)$를 잡자. $f$가 연속이므로 $g$ 역시 연속이며, 최대-최소 정리에 의해 최댓값을 가진다. $g'(x) = k - f'(x)$이다. 위의 두 Lemma에 의해 최댓값을 가지는 $x$는 $a$와 $b$가 아니다. 따라서 최댓값을 가지는 $x$는 $a$와 $b$ 사이의 어떤 실수 $c$이며, 이 때 $g'(c) = 0$을 만족한다. 따라서 $f'(c) = k$이다.

응용

$f(x)=[x]$는 부정적분을 가지지 않음을 보이시오. ($[x]$는 가우스 함수)

 

$F'(x) = [x]$인 $F$가 존재한다고 하자. $F'(0)=f(0)=0, F'(1)=f(1)=1$이다. 다르부의 정리에 의해 $F'(c)=f(c)=\frac{1}{2}$인 $c$가 존재한다. 하지만 $f(x)$의 값은 정수만 가능하므로 이는 모순이다. 따라서 $F$는 존재하지 않는다.

 

이를 확장하면 다르부의 적분가능성 이론을 얻을 수 있다.