미적분 (4) - 적분의 의미와 부정적분

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극한: http://dimenchoi.tistory.com/18
미분(1) - 미분의 정의와 계산법: http://dimenchoi.tistory.com/19
미분(2) - 미분 공식: https://dimenchoi.tistory.com/33
적분(1) - 적분의 의미와 부정적분: https://dimenchoi.tistory.com/34
적분(2) - 정적분의 정의: https://dimenchoi.tistory.com/35
적분(3) - 미적분의 기본 정리: https://dimenchoi.tistory.com/36

 

적분이란?

일단 적분이 뭘까요?

왠지 미분이 '잘게 나누는 것'이었으니까 적분은 '나눈 것을 다시 모으는 것'이라고 자연스럽게 떠오를 것입니다(아닌가요?)

또 한자를 조금 아시는 분이라면 적분(積分)의 적(積)자가 적립, 누적 등 '쌓다'란 의미를 가지고 있다는 걸 아시겠죠.

맞습니다! 적분은 미분의 반대 연산으로, ​잘게 나눈 것을 다시 모으는 것​입니다.

저번 미분 포스팅때 썼던 예를 재활용하죠.

 

 

저번에 제가 저 원을 피자 조각으로 ​잘게 나누는 것이 미분​이라고 했었습니다.

그 후 저 잘게 나눈 피자 조각을 다시 쌓아서 직사각형으로 만들었었죠.

바로 이것이, ​잘게 나눈 조각을 다시 모으는 과정이 적분​입니다.

 

예전에 들었던 예를 또 들면 재미없으니까 예를 하나 더 들어보겠습니다.

 

 (사진출처: http://blog.naver.com/dreammath2015/220727713758)

 

우리가 초등학교 시절 때 했던 귤껍질 실험입니다ㅋㅋㅋㅋㅋ..

보시면 귤의 껍질을 조각조각 잘게 나누죠? 이게 바로 미분!

그리고 잘게 나눈 조각들을 원 모양으로 다시 모읍니다. 이게 바로 적분!

이제 미분 적분이 뭔지 조금 감이 오시죠?

 

아, 귤껍질 얘기가 나와서 하는 말인데, ​귤껍질 실험은 원의 겉넓이가 4πr²이라는 증명이 절대 될 수 없습니다.

​​그저 뭔가 이렇게 해보니까 '아마' 4πr²인거 같다 - 정도이지, '확실히' 4πr²이라고는 말할 수 없습니다.

귤껍질 사이 빈 공간도 많고, 애초에 귤도 완전한 구가 아니잖아요?

이게 우리가 미적분을 하는 이유입니다. 이런 부정확한 실험적 결과를 수학적으로 풀어내어서

'확실히' 구의 부피가 4πr²임을 증명해내는거죠.

또 구의 부피 뿐만 아니라 원뿔, 다각뿔의 부피, 타원의 넓이 등 여러 도형의 넓이를 구할 수 있게 됩니다.

 

 

부정적분의 계산법

​그럼 적분은 어떻게 계산할까요?

​"미분의 반대가 적분이니까 미분을 거꾸로 하면 되지 않을까요? 곱셈과 나눗셈처럼..."

​

정답입니다. 적분은 미분을 거꾸로 하면 됩니다.

그럼 바로 문제 하나 풀어볼까요?

​

​Q1) $2x$를 적분하면?

 

A1) $x^2$을 미분하면 $2x$이므로 $2x$를 적분하면 $x^2$이다. $\therefore x^2$

 

​

Q2) $3x^2+4x+5$를 적분하면?

 

A2) $x^3+2x^2+5x$를 미분하면 $3x^2+4x+5$이므로 $3x^2+4x+5$를 적분하면 $x^3+2x^2+5x$이다. $\therefore x^3+2x^2+5x$

 

 

위 두 문제를 통해 다음과 같은 다항식의 적분법을 알 수 있습니다.

\[ x^n \text{의 적분은} \frac{1}{n+1}x^{n+1} \]

​

그.런.데.

​

Q1에서 미분해서 $2x$가 나오는건 $​x^2$뿐만이 아닙니다.

​상수항은 미분하면 0이 되기 때문에​ $x^2+1, x^2+2, x^2+100$ 등도 미분하면 $2x$가 나옵니다.

따라서 Q1의 정확하고 일반적인 답은 $x²+C$ ($C$는 상수)입니다. 여기서 $C$를 ​적분상수​라고 합니다.

마찬가지로 Q2의 정확한 답은 $x^3+2x^2+5x+C$ 입니다.

 

이렇게 우리가 지금까지 해온 적분은 $C$에 따라서 값이 여러개가 나올 수 있는, 부정(不定, 정해지지 않은)한 값입니다.

따라서 지금까지 우리가 한 적분을 ​부정적분​이라고 합니다.

부정적분은 기호 $\int$(인테그랄, integral)을 써서 다음과 같이 수식으로 나타낼 수 있습니다.

\[ \int 2x dx = x^2 + C \]

 

​"근데 $dx$는 왜 붙은 거에요?"

​그건 나중에 차차 알게 될 겁니다. 일단 지금 대략적인 답을 주자면​

​$dx$는 미소변량, 즉 매우 작은 값을 의미합니다.

그리고 $\int$의 정확한 의미는, $\sum$과 비슷하지만 무한 버전으로, 무한히 더한다는 의미입니다.

즉, $\int 2xdx$의 의미는, $2x$를 무한히 작게 쪼개서($dx$) 무한히 더해라($\int$)라는 의미입니다.

나중에 정적분 하면 더 확실히 알게 될 겁니다 :)

 

이로부터 부정적분의 계산법을 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

\[ \int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C \quad (C\text{는 적분상수}) \]

 

 

Q3) $\int (x^3 + 3x^2+5x-7) dx$은?

 

A3) 부정적분의 계산법 $\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}$을 사용하면,

\[ \int (x^3 + 3x^2+5x-7) dx = \frac{1}{4}x^4 + x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 7x + C \]

 

 

부정적분의 용어

위에서 배운 내용을 총정리하자면 다음과 같습니다.

\[ F'(x) = f(x) \quad \Leftrightarrow \quad \int f(x) dx = F(x) + C \]

요거 하나에 지금까지 했던 얘기가 다 들어있네요 ㅎㅎ

용어는 그닥 중요하지 않지만 그래도 짚고 넘어가자면,

$F(x)$를 $​f(x)$의 부정적분 또는 원시함수​라고 하고, $​f(x)$를 피적분함수, $x$를 적분변수​라고 합니다.

 

여담으로 $\int$은 Summation의 앞글자 S를 길게 늘어뜨린겁니다.

 

​"그런데 부정적분의 의미가 뭔가요? 미분의 의미가 기울기인건 알겠는데..."​

 

사실 부정적분의 의미는 없습니다. 좀 말이 심할지는 몰라도 부정적분은 사실상 "의미없는 계산"입니다.

 

​"그럼 왜 배운거에요..."

 

​음 부정적분은 정적분의 준비 단계라고 보시면 되겠습니다.

정적분의 계산값은 면적과 직접적인 관련이 있습니다. 이 정적분이라는 연산을 다루기 위한 준비단계이죠.

 

부정적분 포스팅은 이렇게 짧게 끝내도록 하겠습니다.

귀찮아서 그런게 아니라 이어지는 내용이 정적분인데 정적분을 들어가면 겁나 할 내용이 많아져서

포스팅 분량이 제가 감당할 수 없을 정도가 되기에 이정도에서 끊는 것이 좋겠네요.