미적분 (1) - 극한

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극한: http://dimenchoi.tistory.com/18

미분(1) - 미분의 정의와 계산법: http://dimenchoi.tistory.com/19

미분(2) - 미분 공식: https://dimenchoi.tistory.com/33

적분(1) - 적분의 의미와 부정적분: https://dimenchoi.tistory.com/34

적분(2) - 정적분의 정의: https://dimenchoi.tistory.com/35

적분(3) - 미적분의 기본 정리: https://dimenchoi.tistory.com/36

 

안녕하세요, 미적분 시리즈에 오신 여러분들을 환영합니다! 미적분은 이과생들의 필수 소양입니다. 미적분은 변화, 기울기, 미시, 넓이 등을 다루는 학문으로, 고급수학으로 나서는 첫 단계라고 할 수 있습니다. 

 

공포의 학문으로 불릴 만큼 미적분은 어렵고 난해하기로 악명높지만, 차근차근 공부해보면 막상 그렇게 어려운 학문도 아닙니다. 오히려 정말 새로운 수학이기 때문에 더욱 재밌고 신기하기도 하죠. 지금부터 같이 미적분을 공부해 봅시다!

 

미적분 여행은 먼저 극한에서부터 시작합니다.

 

 

수열에서의 극한

극한은 두 종류가 있습니다. 수열에서의 극한과 함수에서의 극한이 있는데요, 수열의 극한이 더 이해하기 쉬우니 이것부터 하겠습니다. 다음과 같이 모든 항이 1인 수열이 있습니다.

 

\[ a_1 = 1 \quad a_2 = 1 \quad a_3 = 1 \quad \cdots \quad a_n = 1 \quad \cdots \]

 

이 수열에서 $n$이 한없이 커지면 $a_n$은 어떤 값이 될지 생각해 보겠습니다. 한없이 커진다라는 표현을 처음 보시는 분들이 많을텐데, 이 표현은 말 그대로 $n$이 무지막지하게 커졌을 때, 여러분이 지금 머리 속에 상상하고 있는 그 큰 숫자보다도 훨씬 더 커졌을 때 $a_n$이 어떻게 될지 생각해 보자는 겁니다. 사실 수학적으로 엄밀한 표현은 아니지만, 고등수준에서는 이 정도로밖에 설명을 할 수 없습니다. 나중에 해석학에서는 이 "한없이" 라는 표현을 훨씬 엄밀히 정의합니다.

 

아무튼, 이 수열에서 $n$이 한없이 커지면 $a_n$은 어떤 값이 될까요? 네, 당연히 1입니다. (너무 쉬워서 오히려 당황했죠?)

 

그럼 다음과 같은 수열을 봅시다.

 

\[ a_1 = 1 \quad a_2 = \frac{1}{2} \quad a_3 = \frac{1}{3} \quad \cdots \quad a_n = \frac{1}{n} \quad \cdots \]

 

이 수열에서는 $n$이 한없이 커지면 $a_n$은 무슨 값이 나올까요? 아마 여러분은 직관적으로 $a_n$이 한없이 0이 가까워진다는 것을 이해할 수 있을 겁니다. 이렇게 위의 두 예시처럼 어떤 수열에서 $n$이 한없이 커질 때, $a_n$이 어떤 일정한 값 $L$에 한없이 가까워지면, 그 수열은 수렴한다고 합니다. 첫 번째 예시는 수열이 1로 수렴하고, 두 번째 예시는 수열이 0으로 수렴합니다.

 

그리고 수열에서 $n$이 무한대로 갈 때 $a_n$이 어떤 값 $L$로 수렴하는 것을 수식으로

 

\[ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = L \]

 

라고 씁니다. ($\lim$은 '리미트'라고 읽습니다)

 

하지만 다음 수열을 볼까요?

 

\[ a_1 = 2 \quad a_2 = 4 \quad a_3 = 6 \quad \cdots \quad a_n = 2n \quad \cdots \] 

 

이 수열에서는 $n$이 한없이 커지면 $a_n$도 한없이 커집니다. 다음 수열에서는 $n$이 한없이 커지면 $a_n$은 한없이 작아지죠.

 

\[ a_1 = -2 \quad a_2 = -4 \quad a_3 = -6 \quad \cdots \quad a_n = -2n \quad \cdots \] 

 

이렇게 수렴하지 않고 한없이 커지거나 작아질 때, 이 수열은 양 또는 음의 무한대로 발산한다고 하고, 다음과 같이 씁니다.

 

양의 무한대로 발산: $ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \infty $

음의 무한대로 발산: $ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = -\infty $

 

하지만 이런 수렴하지도, 무한히 커지거나 작아지지도 않는 수열도 가능합니다.

 

\[ a_1 = -1 \quad a_2 = 1 \quad a_3 = -1 \quad \cdots \quad a_n = (-1)^n \quad \cdots \] 

 

아니면 이런 수열은 어떤가요? $\pi$의 소수점 아래 숫자를 쭉 나열해 놓은 수열입니다.

 

\[ a_1 = 1 \quad a_2 = 4 \quad a_3 = 1 \quad a_4 = 5\ \quad a_5 = 9 \quad a_6 = 2 \quad \cdots\]  

 

위의 예시에서 보여준 수열들은 $n$을 한없이 크게 해도 $a_n$이 특정한 값으로 수렴하지 않습니다. 그렇다고 해서 무한대로 발산하는 것도 아니죠. 이렇게 수렴하지도, 무한대로 발산하지도 않는 경우를 진동한다고 합니다.

 

그리고 진동과 양/음의 무한대로의 발산을 통틀어서 발산한다고 합니다. (그러니까 진동하는 수열도 발산합니다. 발산의 한자어가 發散이여서 뭔가 무한대로 가야될 것 같지만 수학적으로는 진동하는 경우도 발산입니다) 

 

이것이 수열의 극한입니다. 수열의 극한의 기본 성질을 짚자면,

 

$ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \alpha $, $ \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = \beta$ 일 때,

 

1) $ \lim_{n \rightarrow \infty} ka_n = k\alpha $

2) $ \lim_{n \rightarrow \infty} (a_n \pm b_n) = \alpha \pm \beta $

3) $ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n b_n = \alpha \beta $

4) $ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\alpha}{\beta} $

 

이 성질들은 직관적으로는 이해하기 쉽지만 엄밀한 수학적 증명은 

대학교 수학(해석학)이 필요하기 때문에 쿨하게 인정하고 넘아갑시다ㅎㅎ

(궁금하시다면 입실론 델타 논법을 찾아보세요)

 

 

확인문제

다음 수열의 극한은?

\[ a_1 = \frac{1+1}{1} \quad a_2 = \frac{2+1}{2} \quad a_3 = \frac{3+1}{3} \quad \cdots \]

 

$a_n = \frac{n+1}{n} = 1+\frac{1}{n}$ 이므로,

$\lim_{n \rightarrow \infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right) = \lim_{n \rightarrow \infty}1 + \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n} = 1+0 = 1$

 

 

함수에서의 극한

이제 함수에서의 극한에 대해 알아보겠습니다.

 

수열은 계단식입니다. $a_1$, $a_2$, $a_3$, ... 이렇게 수열의 경우에는 n에 자연수만 올 수 있죠.

 

 

 

이런 수열에서 $n$을 무한대로 보내는 극한은 의미가 있습니다. 이 수열의 경우 $a_n$은 양의 무한대로 발산하네요. 하지만 $n$을 임의의 자연수, 예컨데 2에 한없이 가깝게 보내는 극한은 의미가 없습니다. 애초에 $n$이 2에 대해서만 정의가 돼 있고 2 주변의 값에 대해서는 정의되어 있지 않기 때문에 $n$을 2에 가깝게 보낸다는 것 자체가 불가능합니다.

 

하지만 함수의 경우에는 다르죠. 대부분의 함수는 모든 실수에 대해서 정의되어 있습니다. 굳이 정의역이 모든 실수가 아니더라도 적어도 함수의 정의역은 대부분 불연속적이지 않고 연속적입니다.

 

 

이런 함수에서는 2 주변의 값이 존재하며, 때문에 $x$를 한없이 2에 가깝게 보내는 것이 가능합니다.

 

 

 

그렇다면 여기서 $x$를 2에 한없이 가까이 보내면 $y$는 어떤 값에 한없이 가까워질까요?

정말 의미없긴 하지만 표로 한번 관찰해보죠.

 

$x$	1.9	1.99	1.999	1.9999	1.99999	1.999999	1.9999999
$y$	3.8	3.98	3.998	3.9998	3.99998	3.999998	3.9999998

 

네, $x$가 2에 한없이 가까워지면 $y$는 4에 한없이 가까워집니다. 이걸 수식으로 다음과 같이 씁니다.

 

\[ \lim_{x \rightarrow 2} y = 4 \]

  

일반적으로 $x$가 $a$에 가까워질때 $f(x)$가 $L$에 가까워지면 다음과 같이 씁니다.

 

\[ \lim_{x \rightarrow a} f(x) = L \]

 

또한 수열의 극한과 마찬가지로 함수의 극한에서도 극한값이 존재하지 않을 수 있습니다. 먼저 $f(x)$가 양/음의 무한대로 발산할 수 있습니다. 예를 들어서 $f(x)=x^2$에서 $x$를 무한히 크게 보내면 $f(x)$는 양의 무한대로 발산합니다.

\[ \lim_{x \rightarrow \infty} x^2 = \infty \]

또 다른 케이스는, 함수의 좌극한과 우극한이 같지 않을 때 함수의 극한이 존재하지 않습니다. 이게 뭔 말인지 이해하기 위해 먼저 좌극한과 우극한에 대해 알아봅시다. 아래 그림에서 초록색 화살표는 왼쪽에서 오른쪽으로 2에 접근하고 있고 파란색 화살표는 오른쪽에서 왼쪽으로 접근합니다. 이 때 초록색 화살표처럼 왼쪽에서 오는 극한을 좌극한, 오른쪽에서 오는 극한을 우극한이라고 합니다.

 

 

좌극한

 

 

$x$	1.9	1.99	1.999	1.9999	1.99999	1.999999	1.9999999
$y$	3.8	3.98	3.998	3.9998	3.99998	3.999998	3.9999998

우극한

$x$	2.1	2.01	2.001	2.0001	2.00001	2.000001	2.0000001
$y$	4.2	4.02	4.002	4.0002	4.00002	4.000002	4.0000002

 

그리고 좌극한(첫번째 식)과 우극한(두번째 식)을 다음과 같이 표기합니다.

 

\[ \lim_{x \rightarrow a^{-}} f(x) = L \]

\[ \lim_{x \rightarrow a^{+}} f(x) = L \]

 

보통은 좌극한과 우극한이 같지만 다음과 같이 좌극한과 우극한이 같지 않은 경우가 있습니다.

예를 들어 $f(x) = \frac{1}{x}$를 봅시다.

 

이 때 $x$가 0으로 갈 때, 오른쪽에서 왼쪽으로 가면 양의 무한대로 가고, 왼쪽에서 오른쪽으로 가면 음의 무한대로 갑니다.

 

 

따라서 $x$가 0으로 갈 때 좌극한과 우극한이 일치하지 않으므로, $y=\frac{1}{x}$는 $x=0$에서 극한값이 없습니다. 

 

그럼 여기서 문제! 다음 명제는 맞을까요?

 

$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L$ 이고 $f(a)$가 정의되어 있으면 $f(a)=L$ 이다.

 

극한을 처음 배우면 '$f(x)$에서 $x$가 한없이 $a$에 가까워질 때 $L$이 되면 당연히 $f(a)=L$ 아닌가?' 라고 생각하기 쉽지만, 절대 그렇지 않습니다. $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L$와 $f(a)=L$이 다르다는 걸 아셔야 합니다. 예를 들자면,

 

 

위 함수에서 $x$가 2에 한없이 가까워질 때 $f(x)$는 2에 가까워지지만 실제 $f(2)$의 값은 1입니다.

 

극한은 정의되어 있지 않은 값에 대해 함수가 어떻게 행동하는지 분석할 때 유용합니다. 예를 들어 $f(x) = x^x$에서 x=0을 대입할 수는 없지만 ($0^0$은 정의되지 않으므로)

 

\[ \lim_{x \rightarrow 0^+} x^x = 1 \]

 

처럼 극한을 사용하여 $x$가 0에 가까워질 때 $x^x$는 1에 가까워진다는 사실을 알 수 있습니다. (증명은 생략합니다) 물론, 실제로 $f(0)=0^0=1$인건 절대 아닙니다. 하지만 $x^x$는 $x$가 0에 무한히 가까워질 때 그 값이 1에 한없이 가까워짐을 알 수 있습니다.

 

함수의 극한의 포인트는, 실제로 그 값을 대입하는 것이 아닌, 그 값에 한없이 가까이 다가갔을 때, 함숫값이 어떻게 변하는지 관찰하는 것입니다.

 

 

극한의 성질

아래 성질은 수열의 극한과 마찬가지로 직관적으로는 이해가 되지만 엄밀한 증명은 고교과정을 벗어나므로 그냥 외워주세요;;^^

 

$ \lim_{x \rightarrow a} f(x) = L $, $ \lim_{x \rightarrow a} g(x) = M$ 일 때,

 

1) $ \lim_{x \rightarrow a} kf(x) = kL \quad$ ($k$는 상수)

2) $ \lim_{x \rightarrow a} f(x) \pm g(x) = L \pm M$

3) $ \lim_{x \rightarrow a} f(x)g(x) = LM $

4) $ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} \quad (M \neq 0) $

 

이렇게 극한 포스팅이 대충 끝난 것 같습니다.

말도 안되게 허접하지만 극한 개념은 어느 정도 잡혔으리라 기대합니다.

그럼 다음 포스팅, 미분에서 뵙겠습니다 ^^