오일러 공식 증명 - 세상에서 가장 아름다운 수식

수학자들을 대상으로 물어봤을 때, 가장 아름답다고 느끼는 공식이 무엇일까요?
바로 오늘, 수학자들이 뽑은 가장 아름다운 공식에 대해 살펴보도록 하겠습니다.

테일러 전개

저번 글에서 테일러 전개에 대해 살펴봤었습니다: https://dimenchoi.tistory.com/30
$\sin x$, $\cos x$, 그리고 $e^x$의 테일러 전개가 다음과 같음을 살펴봤었죠.
\[ \begin{align*}
e^x &= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \\
\sin x &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\
\cos x &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \cdots
\end{align*} \]
세 식의 형태가 매우 유사함을 근거로 세 식 사이에 무슨 관계가 있을 거라는 말로 끝맺었습니다.
오늘 이 세 식 사이의 관계를 파헤쳐 보도록 하겠습니다.

과감한 대입

여기서 과감한 대입을 해보도록 하겠습니다.
바로 $e^x$에 $x=ix$를 대입하는 것입니다($i$는 허수단위).

그러면 식은 다음과 같이 됩니다.
\[ \begin{align*}
e^x &= 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \cdots \\
&= 1 + ix - \frac{x^2}{2!} -\frac{ix^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{ix^5}{5!} - \cdots
\end{align*} \]

"잠깐만요! 지수에다가 $i$를 대입한다고요?? 지수는 실수 범위에서만 정의되잖아요!"

...일단 그것에 대한 얘기는 글의 끝부분에서 할 테니 지금은 저를 따라와 주시길 바랍니다.

오일러 공식

일단 저희는 테일러 급수의 힘을 믿고 한번 $x=ix$를 대입해 봤습니다.
그런데 이 식을 유심히 보면.....무언가 느껴지지 않나요?
$\sin x$의 테일러 전개식의 양변에 $i$를 곱하겠습니다.

\[ i\sin x = ix - \frac{ix^3}{3!} + \frac{ix^5}{5!} - \frac{ix^7}{7!} + \cdots \]

여기서 $\cos x$의 테일러 전개식과 $i\sin x$의 테일러 전개식을 더하게 되면 놀라운 일이 벌어집니다.
\[ \begin{align*}
i\sin x &= ix - \frac{ix^3}{3!} + \frac{ix^5}{5!} - \frac{ix^7}{7!} + \cdots \\
\cos x &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \cdots \\
i\sin x + \cos x &= 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - \frac{ix^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{ix^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} - \frac{ix^7}{7!} + \frac{x^8}{8!}\cdots \\
&= e^{ix}
\end{align*} \]
바로 $i \sin x + \cos x = e^{ix}$라는 사실입니다!! 이가 바로 오일러 공식입니다.
\[ e^{ix} = i\sin x + \cos x \]

세상에서 가장 아름다운 식

오일러 공식에 $\pi$를 대입하면 수학에서 가장 아름다운 식이 등장합니다.
\[ e^{i \pi} + 1 = 0 \]
정말 아름답지 않나요?
기하학에서 가장 중요한 상수 $\pi$, 대수학에서 가장 중요한 상수 $i$, 미적분학에서 가장 중요한 상수 $e$
그리고 덧셈의 항등원 0과 곱셈의 항등원 1의 관계를 매우 간단하게 표현한 정말 아름다운 식입니다.

가우스는 "이 식에서 감탄이 나오지 않는다면 수학자가 되기 글렀다"라고 말할 정도였죠.
여러분들도 조금의 감동을 받았으면 좋겠습니다.

복소수 지수..?

그럼에도 이 식이 여전히 꺼름칙한 것은, 지수 $i\pi$가 뭔 뜻인지 모르겠다는 것입니다.
$e$를 $i\pi$번 곱하라니 멘붕이네요. 애초에 복소수 지수가 있기는 한 걸까요?
여기서 잠시 지수에 대해 짚어보도록 하겠습니다.

 

1단계 지수
자연수밖에 없던 시절, 사람들은 지수를 이렇게 정의했습니다.
(실제로 지수는 실수 시절에 나왔습니다만 일단은 설명의 편의를 위해 이렇다고 합시다)
$a^n = a \times a \times \cdots \times a \quad (n\text{개})$
이 때는 $n$은 자연수에만 한정되어 있기 때문에 $n$번 곱한다는 표현이 자연스러웠죠.

 

2단계 지수

시간이 좀 흘러, 사람들은 실수를 발견하게 되었습니다.
그런데 기존의 방법으로는 실수 지수를 정의할 수 없었습니다.
"2를 1.5번 곱하라"라든가 "2를 -3번 곱하라"라든가는 말이 안되잖아요?

그럼 지수는 실수까지 확장된 수체계에서는 불완전한 연산이 되어버리는 걸까요?
하지만 지수는 불완전한 연산으로 포기해버리기에는 너무 간편한 연산이었습니다.
고민하던 사람들은 지수법칙으로 새롭게 지수를 정의하는 아이디어를 생각해 냈습니다.

지수법칙은 다음과 같죠.

\[ \begin{align*}
a^m \times a^n = a^{m+n} \\
\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \\
(a^m)^n = a^{mn} \\
(ab)^n = a^nb^n
\end{align*} \]

이로부터 $a^0 = a^{1-1} = \frac{a}{a} = 1$로 $a^{-n} = a^{0-n} = \frac{a^0}{a^n} = \frac{1}{a^n}$로 정의하여 지수를 정수 범위로 지수를 확장하였습니다.

또한 $(a^{\frac{m}{n}})^n = a^{\frac{m}{n} \times n} = a^m$이므로 $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$로 정의하여 지수를 유리수 범위로 확장하였습니다.

마지막으로 무리수 지수는 무리수를 유리수로 한없이 근사하여 구하는 것으로 정의했죠. (예를 들어 $2^\sqrt{2} = 2^{1.4142135\cdots} = 2.665144\cdots$

 

여기서 포인트는 실수 지수를 정의하기 위해 기존의 방법과는 전혀 다른 지수법칙을 이용했다는 점입니다.
지수법칙으로 지수를 정의하면서 지수는 더이상 "몇 번 곱한다"의 의미를 가지지 않게 되었습니다.
이렇게 수학자들은 어떤 연산을 다른 수체계 내애서도 적용하기 위해 특정 규칙을 이용해서 연산의 의미를 확장/변형하기도 합니다.

 

3단계 지수
시간이 더 흘러 사람들은 복소수까지 발견하게 되었습니다.
그러면 복소수 지수는 어떻게 정의할 수 있을까요?
바로 오일러 공식으로 정의합니다. 사실 오일러의 식
\[ e^{ix} = i \sin x + \cos x \]
은 복소수 지수를 정의하는 식이라고 볼 수 있습니다.

실제로 이 오일러 공식으로부터 시작해서 밑과 지수 모두 복소수인 수를 정의하는 것이 가능해집니다.

"그말은 $2^i, i^i, (3+2i)^(7-4i)$ 등 모든 지수가 정의 가능하다는 뜻인가요?"

네 그렇습니다. 임의의 복소수를 밑과 지수로 가진 수는 오일러 공식으로 그 값을 정의할 수 있습니다.
또한 두 복소수 $z, w$에 대해 $z^w$도 복소수입니다.
이는 현재 수의 범위가 복소수에서 끝나는 이유이기도 하죠.
(사실 더 올바른 이유는 대수학의 기본 정리입니다만 이 설명도 아주 틀리진 않았습니다).

 

"구체적으로 어떻게 정의한다는 것이죠?"

복소수 지수에 대한 자세한 설명은 다음 포스팅에서 하도록 하겠습니다.(*'▽')
읽어주셔서 감사합니다!