삼각함수의 미분

미적분 글을 다 끝낸 지 2주 정도 됐습니다.

당시 미적분 글에서는 다항함수의 미적분에 대해서만 다뤘었는데요,

이번에는 삼각함수(\( \sin x \), \( \cos x \), \( \tan x \))의 미분에 대해서 보도록 하겠습니다.

사실 삼각함수는 저랑 나름 인연이 깊습니다. 제가 블로그에서 처음으로 올린 수학 글이 삼각비에 대한 글이었거든요.

(http://blog.naver.com/a4gkyum/150160377119)

그리고 어느덧 시간이 지나 이제 삼각함수의 미분에 대해 하고 있으니 감회가 새롭네요 ㅎㅎ

기본 지식

삼각함수의 미분을 하기 위해서는 먼저 삼각함수의 덧셈정리를 알고 계셔야 합니다.

내용은 다음과 같습니다.

\[ \sin (x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y \\ \cos (x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y \] 

증명은 다음 그림으로 퉁 치겠습니다.

그리고 \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \)라는 것도 아셔야 겠고요 (증명: http://blog.naver.com/a4gkyum/150160882029)

마지막으로 다음 극한식을 아셔야 됩니다.

\[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]

 미적분학에서 꽤나 유명한 식입니다. 증명도 나름 재밌으니 같이 보도록 하죠.

(각도는 라디안입니다)

 

위 그림에서 \( \sin \theta < \theta < \tan \theta \)입니다.

여기에 각 항을 \( \sin \theta \) 로 나누어 보면, \( \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \) 라는 관계에 의해 \( 1 < \frac{\theta}{sin \theta} < \frac{1}{\cos \theta} \) 으로 바뀌게 됩니다.

각 항의 역수를 취하면, \( \cos \theta < \frac{\sin \theta}{\theta} < 1 \) 이 됩니다.

여기서 θ를 0으로 보내면,

\[ \lim_{\theta \rightarrow 0} \cos \theta \leq \lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{\sin \theta}{\theta} \leq 1 \]

이 때  \( \theta \rightarrow 0$ 일 때 $\cos \theta \rightarrow 1 \)이므로

샌드위치 원리에 의해 사이에 끼어있는 \( \frac{\sin \theta}{\theta} \)도 1이 됩니다.

따라서 다음 극한식이 성립합니다. 

\[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]

이제서야 우리는 삼각함수의 미분에 필요한 기본 지식을 다 갖추었습니다.

\( \sin x \) 의 미분

\( f(x) = \sin x \)일 때, 일단 미분의 정의에 의해 \(f'(x)\)는 다음과 같습니다.

\[ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]

여기에 \(f(x) = \sin x\)를 대입하면 다음과 같습니다.

\[ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h} \]

여기서 사인함수의 덧셈정리, \( \sin (x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \) 를 써먹어 봅시다.

\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h) - \sin x}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\left( \sin x\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \frac{\sin h}{h} \right) \\ &= \sin x \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h} \end{align*}

 

여기서 우리가 아까전에 증명한

\[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]

을 기분 좋게 써 줍시다.

\begin{align*} f'(x) &= \sin x \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h} \quad \leftarrow \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin h}{h} = 1 \\ &= \sin x \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \end{align*}

이래서 오른쪽 항은 깔끔하게 정리가 됐는데 왼쪽의 극한식이 좀 더럽습니다.

이를 깔끔하게 해주기 위해 다음과 같이 \( \cos h \) 를 \( \sin h\)의 형태로 바꿔주겠습니다.

\begin{align*} f'(x) &= \sin x \lim_{h \rightarrow 0}\left( \frac{\cos h - 1}{h} \frac{\cos h + 1}{\cos h - 1} \right) + \cos x \\ &= \sin x \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos^2 h - 1}{h(\cos h + 1)} + \cos x \quad \quad \leftarrow\sin^2 h + \cos^2 h = 1 \\ &= \sin x \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-\sin^2 h}{h(\cos h + 1)} + \cos x \\ &= \sin x \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-\sin h}{\cos h + 1} + \cos x \\ &= \sin x \times 1 \times 0 + \cos x \\ &= \cos x  \end{align*}

이렇게 \( f(x)=\sin x \) 일때 \( f'(x)= \cos x\) 임을 보일 수 있습니다..!

\(\cos x\) 의 미분

\( \cos x \)의 미분도 위와 같이 해주면 됩니다. 으어어 귀찮아

\( f(x) = \cos x \)라고 놓으면 아까랑 똑같이 \( f'(x) \)는 다음과 같이 써줄 수 있습니다.

\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos(x+h) - \cos(x)}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{(\cos x \cos h - \sin x \sin h) - \cos x}{h}  \end{align*}

아까전에 \( \sin x \)에서 해줬던 것처럼 비슷하게 \( \cos x \)로 촤라락 묶어봅시다.

\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{(\cos x \cos h - \sin x \sin h)-\cos x}{h} \\ &= \cos x \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos h - 1}{h} - \sin x \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin h}{h} \quad \quad \leftarrow \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\cos h - 1}{h} = 0 \quad \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h} = 1 \\ &= - \sin x  \end{align*}

 

따라서 \( f(x) = \cos x \)일 때 \( f'(x)=-\sin x \) 입니다! (생각보다 간단하네요)

\( \tan x \) 의 미분

\( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \) 라는 관계를 사용하면 \( \tan x \) 는 몫의 미분법을 사용하면 쉽게 구할 수 있습니다.

\[ \frac{d}{dx} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \]

여기에 \( f(x)=\sin x \), \( g(x)=\cos x \) 를 대입하면 되겠죠?

\begin{align*} (\tan x)' = \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)' &= \frac{(\sin x)'(\cos x) - (\sin x)(\cos x)'}{\cos^2 x} \\ &= \frac{\cos x \cos x - \sin x(- \sin x)}{\cos^2 x} \\ &= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} \end{align*}

여기서 삼각함수 삼총사와 같이 나오는 새로운 삼총사를 소개해 드리겠습니다.

바로 \( \sin x, \cos x, \tan x \)에 역수를 취한, \( \csc x, \sec x, \cot x \)입니다.

\begin{align*} \text{코시컨트 x}: \csc x = \frac{1}{\sin x} \\ \text{시컨트 x}: \sec x = \frac{1}{\cos x} \\ \text{코탄젠트 x}: \cot x = \frac{1}{\tan x} \end{align*}

왜 사인의 역수가 시컨트고 코사인의 역수가 코시컨트가 아니라 사인의 역수가 코시컨트고 코사인의 역수가 시컨트인지는

그만한 이유가 있습니다. 일단 저도 불만이긴 해요. 꽤나 헷갈립니다;;

아무튼 이 새로운 삼각함수들을 이용하면 \( \tan x \)의 미분은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\[ (\tan x)' = \sec^2 x \]

"그럼 \( \csc x, \sec x, \cot x \)는 미분하면 뭐가 되나요"

이 삼각함수들은 기존 삼각함수의 역수를 씌운 것이기 때문에 몫의 미분법으로 간단히 증명할 수 있습니다.

여기서는 결과만 알려드릴게요.

\begin{align*} (\csc x)' &= -\csc x \cot x \\ (\sec x)' &= \tan x \sec x \\ (\cot x)' &= - \csc^2 x  \end{align*}

이로써 삼각함수의 미분을 간단히 끝냅니다 :)