미적분 (2) - 미분의 정의

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극한: http://dimenchoi.tistory.com/18

미분(1) - 미분의 정의와 계산법: http://dimenchoi.tistory.com/19

미분(2) - 미분 공식: https://dimenchoi.tistory.com/33

적분(1) - 적분의 의미와 부정적분: https://dimenchoi.tistory.com/34

적분(2) - 정적분의 정의: https://dimenchoi.tistory.com/35

적분(3) - 미적분의 기본 정리: https://dimenchoi.tistory.com/36

 

​초딩때 했던 미분

미분이라고 하면 난해한 기호로 짬뽕이 된 엄청난 수학을 생각하실 텐데요, 일단 미분이 그렇게 어마무시한 수학은 절대 아닙니다. 사실 초딩때부터 다뤄왔던 개념이니까요. 오히려 우리에게 가장 친숙한 수학 개념 중 하나일지도 모르겠습니다.

 

적을 알면 백전백승이라고, 일단 미분이 무엇을 의미하는지부터 알아야겠습니다. 미분은 작을 미(微) + 나눌 분(分)으로, ​매우 작게 나눈다​라는 단어입니다. 뭘 작게 나누냐고요? 도형을 작게 나눌 수도 있고, 그래프를 잘게 나눌 수도 있고 뭐 여러가지를 나눌 수 있죠.

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뭔 말이냐 하면...

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우리 초등학교 6학년 때 원의 넓이가 $\pi r^2$임을 증명할 때 다음과 같이 원을 피자 모양으로 잘라서 직사각형 모양으로 붙였습니다. 이 때 원을 무한이 작게 자르면 원의 넓이가 직사각형의 넓이와 일치하므로 원의 넓이는 $\pi r^2$임을 보였습니다.

 

원을 무한히 얇게 잘라서 모으면 직사각형에 가까워집니다

 

 

원을 무한히 얇게 잘라서 모으면 직사각형에 가까워집니다. 바로 이! 원을 ​무한이 작게 자르는 것​이 ​미분​입니다! 우리가 초딩때부터 해왔던 것이죠. 초딩 때 직관적으로 했던 미분을 이제 수학적으로 정리하는 것이 고등학교에서 하는 미분입니다.

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​함수의 미분​

초등학교 때 미분의 대상이 원이었다면 고등학교에서 미분의 대상은 함수입니다. 그럼 함수를 잘게 자르면 뭐가 나오냐? 바로 ​기울기​가 나옵니다. 이게 뭔 소리지 하는 분들이 많을 거 같네요. 왜 함수를 잘게 자르면 기울기가 튀어 나오는지 이해가 안되실 겁니다. 

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일단 함수란 무엇일까요? 바로 $x$가 변함에 따라 $y$가 어떻게 변하는지를 나타낸 겁니다.

그리고 기울기의 정의가 뭐죠?

 

\[ \text{기울기} = \frac{y \text{의 변화량     }}{x \text{의 변화량     }} = \frac{\Delta y}{\Delta x} \]

 

네, 바로 이겁니다. 그렇다면 함수를 잘게 자른다는 것은 곳 $x$가 미세하게 변함에 따라 $y$가 미세하게 어떻게 변하는지를 보는 것이며, 이는 곧 함수의 기울기입니다.

 

참고로 미분을 영어로 하면 'differentiation'입니다. differentiation의 원래 의미는 '차별'이라는 뜻인데, $x$축의 미세한 증가에 따른 $y$축의 차별, 차이를 구하는 계산, 즉 함수의 기울기를 구하는 연산이라는 뜻에서 붙인 이름입니다.

 

어쨌거나 포인트는 ​함수의 미분은 함수의 기울기를 구하는 연산​이라는 뜻입니다. ​그럼 우리 한번 정말 쉬운 미분을 해볼까요?

 

Q1) $f(x)=2x+3$를 미분하면?

 

​비록 저희는 지금 미분이라는 계산을 어떻게 하는지 1도 안배웠지만 ​미분은 기울기를 구하는 연산​이라는 점을 알고 있습니다. $f(x)=2x+3$의 기울기는 2입니다. 따라서 $f(x)$를 미분하면 2가 나옵니다.

 

​A1) 2

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이렇게 직선의 기울기는 구하기 쉽지만 곡선의 기울기, 즉 곡선 위 어떤 점의 접선의 기울기는 구하기 까다롭습니다. 왜냐하면 직선의 기울기처럼 일정하지 않고 어느 점이냐에 따라 접선의 기울기가 달라지기 때문입니다.

 

​위 그래프에서 $x = -1$ 에서 접선의 기울기는 2이지만 (파랑), $x=0.6$에서 접선의 기울기는 0.08입니다 (주황). 접점의 $x$ 좌표에 따라 접선의 기울기가 달라지므로, 곡선형 함수의 미분은 $x$에 대한 함수가 나올 것입니다. 이 함수를 도함수라고 합니다. 그리고 임의의 점에서의 도함수의 값을 미분계수라고 합니다. 예를 들어 위 그래프의 도함수를 $D$라고 하면, $D(-1) = 2, D(0.6) = 0.08$ 입니다. 그리고 -1에서의 그래프의 미분계수는 2, 0.6에서의 그래프의 미분계수는 0.08입니다.

 

그러면 곡선의 기울기, 즉 미분계수는 어떻게 구할 수 있을까요? 우리가 해오던 방법으로 기울기를 구하려면 $x$의 변화량과 $y$의 변화량을 알아야 하므로 적어도 두 개의 점이 필요합니다. 문제는 접선은 $y=f(x)$위의 하나의 점만을 지납니다.

 

여기서 미분의 중요한 아이디어가 등장합니다. 그렇다면! 만약 ​두 개의 점이 매우 가까워서 마치 ​하나의 점​처럼 보인다면?​

이게 뭔 소린지 이해가 안되시는 대부분의 분들을 위해 차근차근 설명해 보겠습니다.

 

저희의 목표는 점 $A$에서의 접선의 기울기를 구하는 것입니다. 이를 위해 $a$로부터 $\Delta x$만큼 떨어져있는 $a+\Delta x$를 생각해 보겠습니다.

이 때 우리는 두 점 사이를 지나는 직선 $l$의 기울기를 쉽게 구할 수 있습니다. 두 점의 좌표는 $(a, f(a))$, $(a+\Delta x, f(a+\Delta x))$이므로 기울기는

 

\[ \frac{y \text{의 변화량}}{x \text{의 변화량}} = \frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{(a+\Delta x) - a} = \frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{\Delta x} \]

 

입니다. 하지만 이 $l$의 기울기는 우리가 구하고자 하는 접선의 기울기와는 다소 차이가 있습니다. 그렇다면! 이 $\Delta x$의 값을 더 작게 하여 $a$와 $a+\Delta x$를 더 가깝게 해봅시다.

마찬가지로 직선의 기울기는 $\frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{\Delta x}$ 이지만 $l$의 기울기가 이전보다 더 $a$에서의 접선의 기울기에 가까워졌습니다. 이제 이 두 점을 완전 가깝게 해봅시다.

이제 $l$의 기울기는 거의 $a$에서의 기울기와 같아졌습니다! 즉 ​두 점 사이의 거리가 작을수록 두 점 사이의 기울기가 접선의 기울기에 가까워집니다. 그러면 만약 두 점의 거리가 ​한없이 가깝다면 ​두 점 사이의 기울기는 접선의 기울기와​ ​한없이 가까워질 겁니다.​ 즉 두 점 사이의 기울기와 접선의 기울기가 일치하는 거죠.

 

​"말도 안돼요! 어떻게 두 점 사이의 직선의 기울기와 한 점에서의 접선의 기울기가 일치할 수 있죠?"

 

무한히 가까워지면 가능합니다. 사실 중1때도 이런 비슷한 경험이 있지 않았나요?

 

\[0.9999 \cdots=1\]

 

이 식을 보고 여러분은

 

​"말도 안돼요! 어떻게 $0.9999\cdots$와 $1$이 일치할 수 있죠?"

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라고 물어봤을 겁니다.

 

왜냐하면 0.999... 뒤에는 9가 무한히 있기 때문에, 0.999...와 1 사이의 값을 찾을 수 없기 때문입니다. 똑같이, 무한히 가까운 두 점 사이의 기울기는 한 점에서 접선의 기울기와 일치하는 겁니다. 보다 더 엄밀한 해설은 대학 과목인 해석학에서 다루게 됩니다.

 

그렇다면 $a$와 $a+\Delta x$가 무한히 가까워지는 것, 즉 $\Delta x$가 무한히 $0$에 가까워지는 것을 수식으로 어떻게 표현할까요?

 

\[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \]

 

네, 우리가 극한을 괜히 배운게 아니죠. 극한식을 이용하면 $\Delta x$가 무한히 $0$에 가까워지는 것을 표현할 수 있습니다. 따라서 $\Delta x$가 무한히 가까워질 때 두 점 사이의 기울기,.즉 $a$에서의 접선의 기울기는..!

 

\[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{\Delta x} \]

 

입니다. 이것이 바로 함수의 미분입니다. 

 

그렇다면! 한번 $f(x)=x^2$을 미분해봐서 $x=3$일 때 접선의 기울기를 구해봅시다!

 

따라서 $f(x)=x^2$에서 점 $(3, 9)$에서의 접선의 기울기는 6입니다.

 

 

 

하나 더 해보죠. $y=2x^3+2$에서 점 $(1, 4)$의 접선의 기울기는?

 

우연히 값이 또 똑같이 6이 나오네요.

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미분의 연산은 이렇게 하면 됩니다. 축하합니다!! 여러분은 이제 그 어렵다는 미분을 하실 수 있습니다!! 하지만 미분 문제가 나올 때마다 이렇게 일일이 미분식을 사용해 극한을 계산하는 것은 번거롭습니다. 다행히도 여러가지 미분 공식이 있어서 이런 수고스러움을 많이 줄여줍니다. 다음 편에서 미분의 공식 몇가지를 짚도록 하겠습니다.

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