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극한: http://dimenchoi.tistory.com/18
미분(1) - 미분의 정의와 계산법: http://dimenchoi.tistory.com/19
미분(2) - 미분 공식: https://dimenchoi.tistory.com/33
적분(1) - 적분의 의미와 부정적분: https://dimenchoi.tistory.com/34
적분(2) - 정적분의 정의: https://dimenchoi.tistory.com/35
적분(3) - 미적분의 기본 정리: https://dimenchoi.tistory.com/36
초딩때 했던 미분
미분이라고 하면 난해한 기호로 짬뽕이 된 엄청난 수학을 생각하실 텐데요, 일단 미분이 그렇게 어마무시한 수학은 절대 아닙니다. 사실 초딩때부터 다뤄왔던 개념이니까요. 오히려 우리에게 가장 친숙한 수학 개념 중 하나일지도 모르겠습니다.
적을 알면 백전백승이라고, 일단 미분이 무엇을 의미하는지부터 알아야겠습니다. 미분은 작을 미(微) + 나눌 분(分)으로, 매우 작게 나눈다라는 단어입니다. 뭘 작게 나누냐고요? 도형을 작게 나눌 수도 있고, 그래프를 잘게 나눌 수도 있고 뭐 여러가지를 나눌 수 있죠.
뭔 말이냐 하면...
우리 초등학교 6학년 때 원의 넓이가 πr2임을 증명할 때 다음과 같이 원을 피자 모양으로 잘라서 직사각형 모양으로 붙였습니다. 이 때 원을 무한이 작게 자르면 원의 넓이가 직사각형의 넓이와 일치하므로 원의 넓이는 πr2임을 보였습니다.

원을 무한히 얇게 잘라서 모으면 직사각형에 가까워집니다. 바로 이! 원을 무한이 작게 자르는 것이 미분입니다! 우리가 초딩때부터 해왔던 것이죠. 초딩 때 직관적으로 했던 미분을 이제 수학적으로 정리하는 것이 고등학교에서 하는 미분입니다.
함수의 미분
초등학교 때 미분의 대상이 원이었다면 고등학교에서 미분의 대상은 함수입니다. 그럼 함수를 잘게 자르면 뭐가 나오냐? 바로 기울기가 나옵니다. 이게 뭔 소리지 하는 분들이 많을 거 같네요. 왜 함수를 잘게 자르면 기울기가 튀어 나오는지 이해가 안되실 겁니다.
일단 함수란 무엇일까요? 바로 x가 변함에 따라 y가 어떻게 변하는지를 나타낸 겁니다.
그리고 기울기의 정의가 뭐죠?
기울기=y의 변화량 x의 변화량 =ΔyΔx
네, 바로 이겁니다. 그렇다면 함수를 잘게 자른다는 것은 곳 x가 미세하게 변함에 따라 y가 미세하게 어떻게 변하는지를 보는 것이며, 이는 곧 함수의 기울기입니다.
참고로 미분을 영어로 하면 'differentiation'입니다. differentiation의 원래 의미는 '차별'이라는 뜻인데, x축의 미세한 증가에 따른 y축의 차별, 차이를 구하는 계산, 즉 함수의 기울기를 구하는 연산이라는 뜻에서 붙인 이름입니다.
어쨌거나 포인트는 함수의 미분은 함수의 기울기를 구하는 연산이라는 뜻입니다. 그럼 우리 한번 정말 쉬운 미분을 해볼까요?
Q1) f(x)=2x+3를 미분하면?
비록 저희는 지금 미분이라는 계산을 어떻게 하는지 1도 안배웠지만 미분은 기울기를 구하는 연산이라는 점을 알고 있습니다. f(x)=2x+3의 기울기는 2입니다. 따라서 f(x)를 미분하면 2가 나옵니다.
A1) 2
이렇게 직선의 기울기는 구하기 쉽지만 곡선의 기울기, 즉 곡선 위 어떤 점의 접선의 기울기는 구하기 까다롭습니다. 왜냐하면 직선의 기울기처럼 일정하지 않고 어느 점이냐에 따라 접선의 기울기가 달라지기 때문입니다.

위 그래프에서 x=−1 에서 접선의 기울기는 2이지만 (파랑), x=0.6에서 접선의 기울기는 0.08입니다 (주황). 접점의 x 좌표에 따라 접선의 기울기가 달라지므로, 곡선형 함수의 미분은 x에 대한 함수가 나올 것입니다. 이 함수를 도함수라고 합니다. 그리고 임의의 점에서의 도함수의 값을 미분계수라고 합니다. 예를 들어 위 그래프의 도함수를 D라고 하면, D(−1)=2,D(0.6)=0.08 입니다. 그리고 -1에서의 그래프의 미분계수는 2, 0.6에서의 그래프의 미분계수는 0.08입니다.
그러면 곡선의 기울기, 즉 미분계수는 어떻게 구할 수 있을까요? 우리가 해오던 방법으로 기울기를 구하려면 x의 변화량과 y의 변화량을 알아야 하므로 적어도 두 개의 점이 필요합니다. 문제는 접선은 y=f(x)위의 하나의 점만을 지납니다.
여기서 미분의 중요한 아이디어가 등장합니다. 그렇다면! 만약 두 개의 점이 매우 가까워서 마치 하나의 점처럼 보인다면?
이게 뭔 소린지 이해가 안되시는 대부분의 분들을 위해 차근차근 설명해 보겠습니다.
저희의 목표는 점 A에서의 접선의 기울기를 구하는 것입니다. 이를 위해 a로부터 Δx만큼 떨어져있는 a+Δx를 생각해 보겠습니다.

이 때 우리는 두 점 사이를 지나는 직선 l의 기울기를 쉽게 구할 수 있습니다. 두 점의 좌표는 (a,f(a)), (a+Δx,f(a+Δx))이므로 기울기는
y의 변화량x의 변화량=f(a+Δx)−f(a)(a+Δx)−a=f(a+Δx)−f(a)Δx
입니다. 하지만 이 l의 기울기는 우리가 구하고자 하는 접선의 기울기와는 다소 차이가 있습니다. 그렇다면! 이 Δx의 값을 더 작게 하여 a와 a+Δx를 더 가깝게 해봅시다.

마찬가지로 직선의 기울기는 f(a+Δx)−f(a)Δx 이지만 l의 기울기가 이전보다 더 a에서의 접선의 기울기에 가까워졌습니다. 이제 이 두 점을 완전 가깝게 해봅시다.

이제 l의 기울기는 거의 a에서의 기울기와 같아졌습니다! 즉 두 점 사이의 거리가 작을수록 두 점 사이의 기울기가 접선의 기울기에 가까워집니다. 그러면 만약 두 점의 거리가 한없이 가깝다면 두 점 사이의 기울기는 접선의 기울기와 한없이 가까워질 겁니다. 즉 두 점 사이의 기울기와 접선의 기울기가 일치하는 거죠.
"말도 안돼요! 어떻게 두 점 사이의 직선의 기울기와 한 점에서의 접선의 기울기가 일치할 수 있죠?"
무한히 가까워지면 가능합니다. 사실 중1때도 이런 비슷한 경험이 있지 않았나요?
0.9999⋯=1
이 식을 보고 여러분은
"말도 안돼요! 어떻게 0.9999⋯와 1이 일치할 수 있죠?"
라고 물어봤을 겁니다.
왜냐하면 0.999... 뒤에는 9가 무한히 있기 때문에, 0.999...와 1 사이의 값을 찾을 수 없기 때문입니다. 똑같이, 무한히 가까운 두 점 사이의 기울기는 한 점에서 접선의 기울기와 일치하는 겁니다. 보다 더 엄밀한 해설은 대학 과목인 해석학에서 다루게 됩니다.
그렇다면 a와 a+Δx가 무한히 가까워지는 것, 즉 Δx가 무한히 0에 가까워지는 것을 수식으로 어떻게 표현할까요?
limΔx→0
네, 우리가 극한을 괜히 배운게 아니죠. 극한식을 이용하면 Δx가 무한히 0에 가까워지는 것을 표현할 수 있습니다. 따라서 Δx가 무한히 가까워질 때 두 점 사이의 기울기,.즉 a에서의 접선의 기울기는..!
limΔx→0f(a+Δx)−f(a)Δx
입니다. 이것이 바로 함수의 미분입니다.
그렇다면! 한번 f(x)=x2을 미분해봐서 x=3일 때 접선의 기울기를 구해봅시다!

따라서 f(x)=x2에서 점 (3,9)에서의 접선의 기울기는 6입니다.

하나 더 해보죠. y=2x3+2에서 점 (1,4)의 접선의 기울기는?

우연히 값이 또 똑같이 6이 나오네요.
미분의 연산은 이렇게 하면 됩니다. 축하합니다!! 여러분은 이제 그 어렵다는 미분을 하실 수 있습니다!! 하지만 미분 문제가 나올 때마다 이렇게 일일이 미분식을 사용해 극한을 계산하는 것은 번거롭습니다. 다행히도 여러가지 미분 공식이 있어서 이런 수고스러움을 많이 줄여줍니다. 다음 편에서 미분의 공식 몇가지를 짚도록 하겠습니다.

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