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수학/군론

군론 (7) - 몫군 몫군 (Quotient Group) $\mathbb{C}^*$를 곱셈을 연산으로 하는 복소수가 이루는 군이라고 합시다. 이 군의 부분군의 예로는 $S^1 = \lbrace z \; | \; |z| = 1 \rbrace$가 있습니다. 복소수끼리 곱하면 편각은 더해지고, 길이는 곱해지므로, $S^1$은 군을 이룹니다. 여기서 $S^1$의 잉여류(Coset)를 취하겠습니다. 잉여류에 대해서는 군론 (4)에서 다뤘었지만, 간단히 요약하자면 $wS^1 = \lbrace wz \; | \; z \in S^1 \rbrace$ 꼴의 집합입니다. $wS^1$을 $S^w$로 나타나겠습니다. 예를 들어 $S^2$는 절댓값이 2인 복소수들의 집합입니다. 즉, $S^w$는 절댓값이 $w$인 복소수들의 집합이며, 이는 복소평면 .. 더보기
군론 (6) - 아벨군 닐스 헨리크 아벨 아벨군 (Abelian Group) 원래 군은 연산에 대해 닫혀있고, 항등원과 역원이 존재하며, 결합법칙이 성립하는 집합과 연산입니다. 여기에 추가로 교환법칙까지 성립하는 군을 아벨군이라고 합니다. 정의. $(S, \circ)$가 다음 다섯 조건을 만족할 때 아벨군(Abelian Group)을 이룬다고 한다. 1) 임의의 \(S\)의 원소 \(a, b\)에 대해 \(a \circ b\)도 \(S\)의 원소이다. 2) 임의의 \(S\)의 원소 \(a\)에 대해 \(e \circ a = a \circ e = a\)를 만족하는 \(S\)의 원소 \(e\)가 존재한다. 3) 임의의 \(S\)의 원소 \(a\)마다 \(a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e\)를 만족하는.. 더보기
군론 (5) - 준동형 사상과 동형 사상 수학에서는 특정 공간의 구조를 보존하는 사상에 관심이 많습니다. 대표적으로 선형대수학에서는 벡터 공간의 성질을 보존하는 선형 변환에 대해서 다루죠. 이를 추상화한 것이 바로 준동형 사상입니다. 준동형 사상 (Homomorphism) 정의. $G$(연산: $\cdot$)와 $H$(연산: $\circ$)가 군이라고 하자. 모든 $g_1, g_2 \in G$에 대해, $\varphi(g_1 \cdot g_2) = \varphi (g_1) \circ \varphi (g_2)$를 만족하는 함수 $\varphi : G \rightarrow H$를 준동형 사상(Homomorphism)이라고 한다. 예를 들어, $\log$는 군 $(\mathbb{R}^+, \times)$에서 군 $(\mathbb{R}, +)$로 가는.. 더보기
군론 (4) - 라그랑주 정리와 잉여류 드디어 이번 글에서는 초급 군론의 하이라이트, 라그랑주 정리에 대해서 보도록 하겠습니다. 1. 라그랑주 정리 (Lagrange Theorem) 정리의 이름이 풍기는 포스와는 달리(일단 이름에서 간지가 철철...) 정리 자체는 간단하며, 나름 직관적입니다. Definition 3.1 유한한 군 \(G\)의 원소의 개수를 군 \(G\)의 차수(order)이라고 하며, \(|G|\)로 표기하도록 한다. Theorem 3.1 (Lagrange Theorem) 유한한 군 \(G\)의 부분군 \(H\)에 대하여, \(|H|\)는 \(|G|\)의 약수이다. 저번 글에서 든 순환군 \(Z_{10}\)의 예시를 보자면, \(Z_{10}\)에서 짝수만을 취한 집합은 부분군을 이뤘으며, 과연 짝수부분군의 원소의 개수는 5개.. 더보기
군론 (3) - 부분군과 생성자 저번에는 대칭군, 순환군, 그리고 정이면체군에 대해서 알아보았습니다. 이번에는 부분군과 생성자에 대해서 알아보겠습니다. 1. 부분군 집합 $G$가 연산 $\circ$에 대해 군을 이룬다고 합시다. 여기서 집합 \(S\)의 부분집합 \(H\)를 생각해 봅시다. 운이 좋으면 \((H, \circ)\)가 또 하나의 군을 이룰 수도 있습니다. 이러한 군을 부분군이라고 합니다. Definition 1.1 군 \((G, \circ)\)에 대해, \(H \subset G\)가 군 \((H, \circ)\)를 이룰 때, 군 \(H\)를 군 \(G\)의 부분군이라고 한다. 예를 들어 보겠습니다. 순환군 \(Z_{10}\)을 보겠습니다. 순환군의 집합 \(\lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .. 더보기
군론 (2) - 순환군, 대칭군, 정이면체군 저번에 군의 정의에 대해서 알아보았으며, 정수군을 비롯한 몇 가지 군의 예시와, 군이 아닌 것의 예시를 보았습니다. 이번에는 군론에서 가장 빈번히 등장하는 세 종류의 군, 순환군(Cyclic Group), 대칭군(Symmetric Group), 정이면체군(Dihedral Group)에 대해서 알아보겠습니다. 1. 순환군 모듈러 n 덧셈을 아래와 같이 두 수의 합을 n으로 나눈 나머지로 정의하겠습니다. \[ 3 +_{\bmod 5} 4 = 2 \] 다음과 같은 집합을 생각해 보겠습니다. \[ Z_4 = \lbrace 0, 1, 2, 3 \rbrace \] 이 집합과 \(+_{\bmod 4}\) 연산은 군을 이룹니다. 한 번 확인해 보겠습니다. 1) \(Z_4\)의 어떤 두 원소를 합해도 4로 나눈 나머지는.. 더보기
군론 (1) - 군의 정의 안녕하세요, Dimen 입니다. 제가 2개월 전 쯤에 군론에 입덕하고는 꽤 열심히 공부했는데 이제 슬슬 까먹어가기도 하니, 블로그 새로 만든 겸으로 군론에 대한 시리즈 글을 올려볼까 합니다. (정리노트 같은 느낌이라서 틀린 내용이 있을 수 있습니다) 시작하기에 앞서 이 글은 brilliant.org에서 제공하는 군론 강의를 바탕으로 써짐을 알려드립니다. 1. 군의 배경 우리는 집합이란 개념에는 이미 익숙합니다. 집합이란 유사한 특징을 가진 여러 객체들을 하나의 묶음으로 보기 위함이 그 도입 배경이라고 할 수 있습니다. 그런데 수학이 발전함에 따라 수학자들은 집합의 업그레이드된 버전을 원했습니다. 바로 집합의 원소 하나하나만의 성질을 분석 대상으로 둘 것이 아니라, 이 집합 내의 원소끼리의 상호 작용에 대.. 더보기

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