군론 (2) - 순환군, 대칭군, 정이면체군

저번에 군의 정의에 대해서 알아보았으며,

정수군을 비롯한 몇 가지 군의 예시와, 군이 아닌 것의 예시를 보았습니다.

이번에는 군론에서 가장 빈번히 등장하는 세 종류의 군, 

순환군(Cyclic Group), 대칭군(Symmetric Group), 정이면체군(Dihedral Group)에 대해서 알아보겠습니다.

 

 

1. 순환군

모듈러 n 덧셈을 아래와 같이 두 수의 합을 n으로 나눈 나머지로 정의하겠습니다.

\[ 3 +_{\bmod 5} 4 = 2 \]

 

다음과 같은 집합을 생각해 보겠습니다.

\[ Z_4 = \lbrace 0, 1, 2, 3 \rbrace \]

이 집합과 \(+_{\bmod 4}\) 연산은 군을 이룹니다. 한 번 확인해 보겠습니다.

 

1) \(Z_4\)의 어떤 두 원소를 합해도 4로 나눈 나머지는 \(Z_4\)의 원소인 0, 1, 2, 3 중 하나이므로 닫혀 있습니다.

2) \(Z_4\)의 항등원은 0으로, 이는 \(Z_4\)의 집합이 원소가 맞습니다.

3) \(Z_4\)의 모든 원소는 역원을 가집니다. 예를 들어 3의 역원은 1입니다. (\(3 +_{\bmod 4} 1 = 0\))

4) 결합법칙은 당연히 만족됩니다.

 

\((Z_4, +_{\bmod 4})\) 뿐만 아니라 일반적인 \((Z_n, +_{\bmod n})\)은 항상 군을 이룹니다.

이런 군을 순환군(Cyclic Group)이라고 합니다.

 

 

2. 대칭군

위에서와 똑같이 \(Z_n = \lbrace 0, 1, 2, \cdots, n-1 \rbrace\) 이라고 합시다.

이 때 일대일대응 함수 \(f : Z_4 \rightarrow Z_4\)을 생각해봅시다.

즉 \(f\)의 예시로는 다음이 있을 수 있습니다.

 

이 함수는 0이 2로, 1이 3으로, 2가 1로, 3이 0으로 가는 함수입니다.

이를 편의상 \(f=\lbrace 2, 3, 1, 0 \rbrace\)로 표기하겠습니다.

 

이들 사이에서는 합성함수 연산이 가능합니다. 예를 들어,

\[ f = \lbrace 2, 3, 1, 0 \rbrace \quad g = \lbrace 3, 0, 1, 2 \rbrace \]

\[ f \circ g = \lbrace 1, 2, 0, 3 \rbrace \]

 

입니다.

 

여기서 모든 일대일대응 함수 \(f : Z_n \rightarrow Z_n\)의 집합을 \(F_n\)이라고 할 때,

\((F_n, \circ)\)는 군을 이룹니다. 한 번 확인해 보겠습니다.

 

1) \(F_n\)의 모든 원소는 일대일대응 함수이므로, \(F_n\)의 임의의 두 원소를 합성한 원소도 \(F_n\)에 있습니다.

2) \(F_n\)의 항등원은 항등함수인 \(\lbrace 0, 1, 2, 3 \rbrace\)입니다.

3) \(F_n\)의 모든 원소는 일대일대응 함수이므로 역함수가 존재합니다. 이가 역원입니다.

4) 합성함수 연산은 결합법칙이 성립함이 잘 알려져 있습니다.

 

 

 

이런 군을 대칭군(Symmetric Group)이라고 합니다.

 

 

3. 정이면체군

여기 정사각형이 있습니다.

 

이 정사각형이 가지는 모든 대칭성은 몇 개일까요?

여기서 말하는 대칭성이란, 이 정사각형을 어떻게든 돌리되 최종 변환이 원래의 정사각형과 정확히 포개져야 한다는 뜻입니다.

예를 들어 90도 회전은 대칭이지만 45도 회전은 대칭이 아닙니다(정사각형 모양이 아닌 다이아몬드 모양이 나오므로)

머리를 조금 쓰면 다음 8개의 대칭성이 있음을 알 수 있습니다.

 

AD, BC 사이를 축으로, AB, CD 사이를 축으로, BD를 축으로, AC를 축으로 하는 4개의 반전변환(Reflection)과 

0도 회전, 90도 회전, 180도 회전, 270도 회전의 4개의 회전변환(Rotation)이 있습니다.

(0도 회전, 즉 아무것도 하지 않는 것도 하나의 대칭성입니다.)

 

이제 두 대칭의 합성에 대해 생각해 봅시다.

무슨 말이냐 하면, 다음과 같이 원래 종이에서 \(S_1\) 대칭을 적용한 후 \(R_1\) 대칭을 적용했을 때를 생각해 봅시다.

 

 

이 두 번의 대칭은 사실 한 번의 \(S_3\) 대칭과 동일합니다.

 

 

이러한 연산을 대칭의 합성연산이라고 생각하고, \(\circ\)를 사용하여 나타내겠습니다.

이 때, 모든 정사각형의 대칭의 집합 \(T_4\)와 \(\circ\) 연산은 군을 이룹니다! 확인해보자면,

 

1) 정사각형의 두 대칭성을 합성해도 정사각형의 대칭성은 보존되므로 임의의 두 대칭의 합성은 \(T_4\) 집합 내에 있습니다.

2) 항등원은 아무것도 하지 않는 0도 회전입니다.

3) 반전대칭의 경우 역원은 자기 자신이며, 회전대칭의 경우 역원은 자기 자신의 회전과 더해서 360도 회전이 되는 회전대칭입니다

(예를 들어 90도 회전대칭의 경우 역원은 270도 회전대칭)

4) 당연히 결합법칙은 성립합니다.

 

일반적으로 정\(n\)각형은 총 \(2n\)개의 대칭성을 가지고 있으며, 이 대칭성의 집합은 \(\circ\)에서 군을 이룹니다.

이런 군을 정이면체군(Dihedral Group)이라고 합니다.

 

 

4. 정리

지금까지 본 모든 군을 정리해 놓았습니다.

아울러 이들 군의 표준 표기 방법도 소개합니다.

 

군의 이름	집합	연산	군의 표기 방법	집합의 원소의 개수
순환군	\( \lbrace 0, 1, 2, \cdots n-1 \rbrace\)	\(+_{\bmod n}\)	\(Z_n\)	\(n\)개
대칭군	모든 \(f : Z_n \rightarrow Z_n\) 중 일대일대응인 함수	합성함수	\(S_n\)	\(n!\)개
정이면체군	정\(n\)각형의 모든 대칭성	두 대칭의 합성	\(D_n\)	\(2n\)개

 

이것으로 두 번째 글을 마칩니다.

다음 글에서는 부분군과 생성자에 대해서 보도록 하겠습니다.