군론 (6) - 아벨군

닐스 헨리크 아벨

 

아벨군 (Abelian Group)

 

원래 군은 연산에 대해 닫혀있고, 항등원과 역원이 존재하며, 결합법칙이 성립하는 집합과 연산입니다.

여기에 추가로 교환법칙까지 성립하는 군을 아벨군이라고 합니다.

 

정의. $(S, \circ)$가 다음 다섯 조건을 만족할 때 아벨군(Abelian Group)을 이룬다고 한다.

 

1) 임의의 \(S\)의 원소 \(a, b\)에 대해 \(a \circ b\)도 \(S\)의 원소이다.

2) 임의의 \(S\)의 원소 \(a\)에 대해 \(e \circ a = a \circ e = a\)를 만족하는 \(S\)의 원소 \(e\)가 존재한다.

3) 임의의 \(S\)의 원소 \(a\)마다 \(a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e\)를 만족하는 \(S\)의 원소 \(a^{-1}\)가 존재한다.

4) 임의의 \(S\)의 원소 \(a, b, c\)에 대해 \(a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c\)이다.

5) 임의의 $S$의 원소 $a, b$에 대해 $a \circ b = b \circ a$ 이다.

 

간단하죠? 몇 가지 예를 들어주자면 $(\mathbb{Z}, +)$는 아벨군입니다. 왜냐하면 덧셈은 교환법칙이 성립하니까요.

하지만 $n \times n$ 행렬의 집합과 행렬곱 연산은 아벨군을 이루지 않습니다. 행렬곱은 교환법칙이 성립하지 않기 때문이죠.

 

동형인 순환군

 

순환군은 아벨군임이 자명하며, 순환군의 곱집합도 아벨군입니다.

 

예를 들어 순환군 곱집합 ${Z}_2 \times {Z}_2$을 봅시다.

이 군의 집합의 원소는 다음과 같습니다.

\[ \lbrace (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) \rbrace \]

여기서 임의의 두 원소끼리 교환법칙이 자명하게 성립하므로 아벨군을 이루게 됩니다.

\[ (1, 0) +_{\text{mod} 2} (0, 1) = (0, 1) +_{\text{mod} 2} (1, 0) = (1, 1) \]

 

그런데 생각해보면 $Z_4$도 차수가 4인 순환군이며, 아벨군입니다.

때문에 ${Z}_4$와 ${Z}_2 \times {Z}_2$가 동형일 수도 있지 않을까? 라는 생각을 해볼 수 있죠.

 

하지만 안타깝게도 이 생각은 틀렸습니다.

왜냐하면 ${Z}_4$에는 원소 1이 모든 군을 생성하지만(군론 (3) - 부분군과 생성자 참조)

${Z}_2 \times {Z}_2$은 그러한 원소가 없습니다.

즉, ${Z}_2 \times {Z}_2$은 두 순환군의 곱집합이긴 하지만 정작 자기 자신은 순환군이 아닌 것이죠.

 

하지만 그렇다고 모든 순환군의 곱집합이 순환군이 아닌 것은 아닙니다.

예를 들어 ${Z}_2 \times {Z}_3$은 $Z_6$과 동형인 군입니다.

$(1, 1)$이 전체 군을 생성하므로 ${Z}_2 \times {Z}_3$은 순환군임을 알 수 있습니다.

 

이를 일반화하면 다음과 같습니다.

 

정리1. 순환군 $Z_{ab}$와 $Z_a \times Z_b$는 $a$와 $b$가 서로소일 때만 동형이다.

 

예를 들어 다음 4개의 군을 봅시다.

 

1) $Z_{24}$

2) $Z_3 \times Z_8$

3) $Z_{12} \times Z_2$

4) $Z_6 \times Z_4$

 

여기서 1)과 2)는 정리1에 의해 동형입니다.

3)과 4)도 동형이 되는데, 왜냐하면 $Z_{12} = Z_4 \times Z_3$이고, $Z_6 = Z_2 \times Z_3$이기 때문입니다.

 

크로네커 분해 정리 (Kronecker Decomposition Theorem)

 

아벨군이 중요한 이유는, 모든 아벨군은 순환군의 카테시안 곱집합과 동형이기 때문입니다.

이는 다음 정리로 알려져 있습니다.

 

크로네커 분해 정리 (Kronecker Decomposition Theorem) 모든 유한한 아벨군은, 순환군의 카테시안 곱과 동형이다.

 

여기에 정리1을 사용하면, 모든 순환군의 곱은 소인수분해가 가능하므로 다음과 같이 더 발전시켜 쓸 수 있습니다.

 

발전된 크로네커 분해 정리. 임의의 유한한 아벨군 $G$를 다음과 같이 쓸 수 있다.

\[ G = Z_{p_1^{k_1}} \times Z_{p_2^{k_2}} \times \cdots \times Z_{p_n^{k_n}} \]

단, $p_1, p_2, \cdots, p_n$은 소수이며, 서로 다른 소수일 필요는 없다.

 

예를 들어 차수 20의 아벨군은 딱 $Z_{2^2} \times Z_5$과 $Z_2 \times Z_2 \times Z_5$의 두 종류밖에 없습니다.

차수 24의 아벨군은 $Z_{2^3} \times Z_3$, $Z_{2^2} \times Z_2 \times Z_3$, $Z_2 \times Z_2 \times Z_2 \times Z_3$의 세 종류만 있습니다.

반면 21의 아벨군은 $Z_3 \times Z_7$로 단 하나밖에 없죠.

 

아벨군에 관한 내용은 이정도로 마치겠습니다.

사실 저 크로네커 분해 정리를 증명하기로 마음먹으면 글이 와장창 길어지겠지만,

이 시리즈의 목적은 군론의 핵심적인 개념을 겉핥기 식으로 보는 것이기 때문에 이정도에서 만족하도록 하죠 :)

 

군론 시리즈의 마지막 글인 다음 글에서는 몫군(Quotient Group)에 대해서 보도록 하겠습니다.