군론 (7) - 몫군

몫군 (Quotient Group)

 

$\mathbb{C}^*$를 곱셈을 연산으로 하는 복소수가 이루는 군이라고 합시다. 이 군의 부분군의 예로는 $S^1 = \lbrace z \; | \; |z| = 1 \rbrace$가 있습니다. 복소수끼리 곱하면 편각은 더해지고, 길이는 곱해지므로, $S^1$은 군을 이룹니다. 

 

여기서 $S^1$의 잉여류(Coset)를 취하겠습니다. 잉여류에 대해서는 군론 (4)에서 다뤘었지만, 간단히 요약하자면 $wS^1 = \lbrace wz \; | \; z \in S^1 \rbrace$ 꼴의 집합입니다. $wS^1$을 $S^w$로 나타나겠습니다. 예를 들어 $S^2$는 절댓값이 2인 복소수들의 집합입니다. 즉, $S^w$는 절댓값이 $w$인 복소수들의 집합이며, 이는 복소평면 위에서 아래와 같이 반지름 $w$인 원점을 중심으로 하는 원을 그립니다.

 

 

 

여기서 흥미로운 사실이 하나 있습니다. 바로 임의의 $x \in S^{w_1}$와 임의의 $y \in S^{w_2}$를 곱한 $xy$는 $S^{w_1 w_2}$의 원소라는 점입니다. 따라서 우리는 집합의 곱셈을 다음과 같이 정의해도 됩니다.

\[ S^{w_1} \cdot S^{w_2} = S^{w_1 w_2} \]

모든 $S$의 집합에 곱셈 연산을 정의했으므로, 이 집합은 군을 이룰지도 모릅니다. 실제로 $S$는 곱셈 연산에 대해 닫혀있고, 항등원($S^1$)과 역원($S^w$의 역원은 $S^{\frac{1}{w}}$)이 있으며, 결합법칙이 성립하므로 이는 군을 이룹니다. 이 군은, 곱셈 연산 하의 양의 실수가 이루는 군과 동형입니다.

 

다시 한 번 지금까지의 내용을 요약해 봅시다. 원래 우리는 군 $\mathbb{C}^*$에서 시작했습니다. 여기서 부분군 $S^1$을 가져와, 이 부분군의 잉여류 $S^w$를 보았습니다. 이 잉여류끼리의 곱셈을 정의한 결과, 잉여류의 집합과 곱셈이 또다른 군을 이루었습니다. 이렇게 부분군의 잉여류가 이루는 군을 몫군(Quotient Group)이라고 합니다.

 

정의. 군 $G$의 부분군 $H$의 잉여류가 적절히 정의된 연산 하에서 군을 이룰 때, 이 군을 $H$에 의한 $G$의 몫군이라고 부르며, $G/H$로 표기한다.

 

모든 잉여류는 크기가 같으므로, $|G/H| = |G|/|H|$가 성립합니다. 한 가지 주의할 점은, 모든 부분군의 잉여류가 몫군을 이루지는 않습니다. 몫군을 이루기 위해서 부분군이 만족시켜야하는 조건이 있는데, 이를 정규성(normality)라고 합니다. 정규성을 가지고 있는 부분군을 정규부분군(Normal Subgroup)이라고 합니다. 정규성이 무엇인지에 대해서는 나중에 알아보겠습니다. 일단 지금은 이 글에 등장하는 모든 예시의 부분군이 정규성을 만족한다는 사실을 알고 계시면 됩니다.

 

몫군의 또다른 예를 봅시다. 정수는 덧셈 연산 하에서 군을 이룹니다. 이 군의 부분군으로 3의 배수만을 취한 군 $3 \mathbb{Z} = \lbrace \cdots, -6, -3, 0, 3, 6, \cdots \rbrace$가 있을 수 있습니다. $3\mathbb{Z}$는 정규성을 만족하는 부분군입니다. $3\mathbb{Z}$의 잉여류는 $3 \mathbb{Z} + 1 = \lbrace \cdots, -5, -2, 1, 4, 7, \cdots \rbrace$, $3 \mathbb{Z} + 2 = \lbrace \cdots, -4, -1, 2, 5, 8, \cdots \rbrace$이 있습니다.

 

여기서 임의의 $x \in 3\mathbb{Z} + n$과 임의의 $y \in 3\mathbb{Z} + m$를 더하면 $x+y \in \mathbb{Z} + n + m$이 되므로 집합 간의 덧셈을 다음과 같의 정의할 수 있습니다.

\[ (3\mathbb{Z} + n) + (3\mathbb{Z} + m) = (3\mathbb{Z} + n + m) \]

이들 잉여류 역시 군을 이루게 되며, 이 군이 바로 몫군 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$입니다.

 

조금 더 어려운 예를 들어보겠습니다. 정이면체군 $D_4$의 원소 중, $D_4$의 나머지 모든 원소와 교환법칙이 성립하는 원소만을 고른 집합은 군을 이룹니다. $D_4$에서 그러한 원소는 항등원하고 180도 회전 $\sigma^2$ 밖에 없거든요($\sigma$는 90도 회전). 이 부분군을 $N$이라고 합시다. 이 때 군 $N$은 정규성을 만족하며, 따라서 몫군 $D_4/N$을 구성할 수 있습니다. $D_4/N$은 $8/2=4$개의 원소를 가지고 있습니다.

 

$D_4$의 원소 중 반전대칭은 제곱하면(두 번 시행하면) 항등원이 됩니다. 반면 회전대칭은 제곱하면 $\sigma^2$ 또는 항등원이 됩니다. 즉, $D_4$의 모든 원소의 제곱은 $N$에 속하므로, $D_4 / N$의 원소는 모두 차수가 1 또는 2입니다. 연산표를 그려보면 차수가 4인 군은 단 두가지, $Z_4$와 $Z_2 \times Z_2$ 밖에 없다는 것을 알 수 있습니다. 그런데 $D_4/N$은 모든 원소의 차수가 1 또는 2여야 하는데, $Z_4$는 차수가 4인 원소가 존재하므로, $D_4/N$은 $Z_2 \times Z_2$와 동형인 군임을 알 수 있습니다. 

 

교환자 (Commutator)

 

두 원소의 교환자(Commutator)를 다음과 같이 정의합니다.

 

정의. 교환자 $[a, b] = aba^{-1}b^{-1}$로 정의한다.

 

두 군의 교환자 부분군(Commutator Subgroup)을 다음과 같이 정의합니다.

 

정의. 교환자 부분군 $[G, G]$는 임의의 $G$의 원소 $a, b$에 대해 $[a, b]$가 생성하는 부분군이다.

 

이 때, 다음 정리가 성립합니다.

 

정리. 모든 군 $G$에 대해, $G/[G, G]$는 아벨군이다.

 

증명은 다음과 같습니다. 편의를 위해 $[G, G]$를 $C$로 표기합시다.

잉여류 $xC, yC$는 몫군 $G/C$의 원소입니다. 그런데 $xyx^{-1}y^{-1}$은 잉여류이므로, $xyx^{-1}y^{-1}C = C$입니다.

왼쪽에 $x^{-1}$을 곱하면 $yx^{-1}y^{-1}C = x^{-1}C$입니다.

왼쪽에 $y^{-1}$을 곱하면 $x^{-1}y^{-1}C = y^{-1}x^{-1}C$입니다.

즉, 임의의 원소 $x, y$에 대해 $xyC = yxC$이므로, $G/C$는 교환법칙이 성립하는 아벨군입니다.

 

위의 정리는 더욱 강력한 버전으로 확장할 수 있습니다.

 

정리. 군 G의 정규부분군 H에 대해 몫군 $G/H$가 아벨군일 필요충분조건은 $[G, G] \subset H$인 것이다.

 

위 정리는 몫군이 아벨군인지 확인하는 데 매우 강력한 도구입니다.

왜 위의 정리가 성립하는지는 추후 정규성에 대한 자세한 설명과 함께 다시 알아보겠습니다.