군론 (3) - 부분군과 생성자

저번에는 대칭군, 순환군, 그리고 정이면체군에 대해서 알아보았습니다.

이번에는 부분군과 생성자에 대해서 알아보겠습니다.

 

 

1. 부분군

집합 $G$가 연산 $\circ$에 대해 군을 이룬다고 합시다.

여기서 집합 $S$의 부분집합 $H$를 생각해 봅시다.

운이 좋으면 $(H, \circ)$가 또 하나의 군을 이룰 수도 있습니다.

이러한 군을 부분군이라고 합니다.

 

 

Definition 1.1 군 $(G, \circ)$에 대해, $H \subset G$가 군 $(H, \circ)$를 이룰 때, 군 $H$를 군 $G$의 부분군이라고 한다.

 

예를 들어 보겠습니다.

 

순환군 $Z_{10}$을 보겠습니다.

순환군의 집합 $\lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \rbrace$ 의 부분집합 중,

짝수만을 취한 집합 $\lbrace 0, 2, 4, 6, 8 \rbrace$를 봅시다.

이 때 $(\lbrace 0, 2, 4, 6, 8 \rbrace, +_{\bmod 10})$ 도 군을 이룹니다.

 

1) 두 짝수를 더한 값은 항상 짝수이며, 이를 10으로 나눈 나머지도 짝수입니다.

2) 항등원 0이 존재합니다.

3) 모든 원소에 대해 역원이 존재합니다.

4) 결합법칙이 성립합니다.

 

따라서 $(\lbrace 0, 2, 4, 6, 8 \rbrace, +_{\bmod 10})$은 순환군 $Z_{10}$의 부분군입니다.

 

하지만 3의 배수만을 취한 $(\lbrace 0, 3, 6, 9 \rbrace, +_{\bmod 10})$는 부분군이 아닙니다.

왜냐하면 닫혀 있지 않을 뿐더러($3+_{\bmod 10}9=2$) 각 원소의 역원이 존재하지 않기 때문입니다.

일반적으로 $n$이 $m$과 서로소일 때 $n$의 배수만을 취한 부분집합은 순환군 $Z_m$의 부분군이 되지 못합니다.

이 이유는 [정수론 (2) - 베주 항등식]을 참고하시길 바랍니다: https://dimenchoi.tistory.com/47

 

 

2. 카테시안 곱 (Cartesian Product)

카테시안 곱은 우리가 잘 아는 수학자 데카르트의 이름을 따온 곱으로,

곱셈의 집합 버전입니다.

정의는 크게 어렵지는 않습니다.

 

Definition 2.1 두 집합 $A, B$에 대해, 두 집합의 카테시안 곱 $A \times B$를 다음과 같의 정의한다.

$$A \times B = \lbrace (a, b) | a \in A \wedge b \in B \rbrace$$

 

예를 들어 $A = \lbrace 1, 2, 3 \rbrace$, $B = \lbrace 4, 5 \rbrace$ 라고 하면, 

$$A \times B = \lbrace (1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5) \rbrace$$

입니다.

또 다른 예로 좌표평면 위의 모든 점 $(x, y)$은 $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ 의 원소로 생각할 수 있습니다.

 

카테시안 곱 사이에서 연산은 $(g, h) \cdot (g', h') = (gg', hh')$으로 생각하겠습니다.

(여기서는 곱셈 연산을 사용했지만 굳이 곱셈이 아닌 다른 연산이어도 괜찮습니다. 

앞으로는 이렇게 임의의 연산을 대표하여 곱셈 연산을 자주 사용할 것입니다.)

이 때 $G, H$가 군이라면, $G \times H$는 군도 됨이 자명합니다.

예를 들어, $Z_5 \times Z_5$는 군을 이루며, 일례로 $(1, 2) + (3, 4) = (4, 1)$ 입니다.

 

그러면 문제 나갑니다.

다음 중 $Z_4 \times Z_4$의 부분군이 아닌 것은?

 

1) $\lbrace (x, 0) | x \in Z_4 \rbrace$

2) $\lbrace (x, 2) | x \in Z_4 \rbrace$

3) $\lbrace (x, x) | x \in Z_4 \rbrace$

 

답은 2번입니다. 왜냐하면 $(x, 2) + (y, 2) = (x+y, 0)$가 집합의 원소가 아니기 때문에 군이 아닙니다.

 

 

3. 생성자 (Generator)

Definition 3.1 군 $G$의 부분집합 $S$에 대해, $S$를 포함하는 부분군 중 가장 작은 부분군이 $H$일 때 $S$는 $H$의 생성자라고 하여, $H = \langle S \rangle$라고 표기하며 $H$는 $S$의 생성계라고 한다.

 

순환군 $Z_{12}$를 보겠습니다. 이 군의 부분집합 $\lbrace 3\rbrace$를 보도록 할게요.

$\lbrace 3 \rbrace$을 포함하는 순환군 $Z_{12}$의 부분군 중 가장 작은 부분군은 무엇일까요?

바로 $\lbrace 0, 3, 6, 9 \rbrace$ 입니다. 이 부분군 중에서 하나의 원소라도 빠지면 군이 아니게 됩니다.

따라서 $\lbrace 0, 3, 6, 9 \rbrace = \langle \lbrace 3 \rbrace \rangle$입니다.

 

이번에는 $\lbrace 3, 5 \rbrace$의 생성자를 보겠습니다.

$\lbrace 3, 5 \rbrace$를 포함하는 순환군 $Z_{12}$의 가장 작은 부분군은 사실 $Z_{12}$ 자체입니다.

한 번 $Z_{12}$보다 작은, $\lbrace 3, 5 \rbrace$을 포함하는 부분군을 찾아보세요! 불가능합니다.

따라서 $\lbrace 3, 5 \rbrace$의 생성계는 $Z_{12}$ 입니다.

 

생성자의 조금 더 직관적인 이해는, 주어진 생성자끼리 연산을 해서 나올 수 있는 모든 결과의 집합입니다.

아까 전의 예를 보자면, 3과 5로 모듈러 12 연산을 해서 나올 수 있는 모든 결과는

 

3 + 3 + 3 + 3 = 0

3 + 5 + 5 = 1

3 + 5 + 3 + 3 = 2

3 = 3

3 + 5 + 3 + 5 = 4

5 = 5

3 + 3 = 6

3 + 5 + 3 + 3 + 5 = 7

3 + 5 = 8

3 + 3 + 3 = 9

5 + 5 = 10

3 + 5 + 3 = 11

 

로 전체 수가 다 나오므로 $\lbrace 3, 5 \rbrace$는 $Z_{12}$의 생성자입니다.

 

순환군의 특징 중 하나는 순환군 전체를 생성하는 생성자 중 원소가 단 하나인 생성자가 존재한다는 것입니다.

일례로 항등원의 생성계는 순환군입니다. 

달리 말해, 순환군의 부분군 중에서 항등원 1을 포함하는 부분군은 순환군 전체 밖에 없습니다.

자명하기도 한 것이, 순환군의 모든 원소는 1의 거듭된 합으로 표현되기 때문에

1이 포함된 집합이 닫혀 있기 위해서는 순환군의 모든 원소가 필요합니다.

 

사실 엄밀한 순환군의 정의는 아래와 같습니다.

 

Definition 3.2 단 하나의 원소만으로 생성되는 군을 순환군(Cyclic Group)이라고 한다.

 

이 정의를 사용하면 순환군의 범위를 훨씬 확장할 수 있습니다.

예시로 $x^5 = 1$의 모든 해를 보도록 합시다.

 

출처: 위키피디아

 

5개의 해는 위와 같이 복소평면 위에서의 단위원을 5등분하는 점입니다.

이 5개의 점과 곱셈으로 이루어진 군을 생각해 보면,

5개의 해 중 하나만으로도 전체 군이 생성됨을 볼 수 있습니다.

따라서 이 군도 순환군입니다.

 

이 정의는 나중에 알아볼 동형(Isomorphic)이라는 개념을 이용하면

맨 처음에 우리가 내렸던 순환군의 정의와 동치임을 보일 수 있습니다.

 

 

 

이번 글은 이것으로 마칩니다.

다음 글에서는 초급 군론의 꽃이라고 할 수 있는 라그랑주 정리에 대해서 알아보겠습니다.