수학 썸네일형 리스트형 오일러 정리의 증명 기약잉여계 $n$과 서로소인 수 $b_1, b_2, \cdots, b_{\phi(n)}$을 생각하자($\phi(n)$은 $1$부터 $n$까지 $n$과 서로소인 수의 개수). 이 수들로 이루어진 집합 $S$를 생각하자. $$ S = \lbrace b_1, b_2, \cdots, b_{\phi(n)} \rbrace $$ $S$의 각 원소에 $n$과 서로소인 수 $a$를 곱한 집합을 $aS$라 하자. $$ aS = \lbrace ab_1, ab_2, \cdots, ab_{\phi(n)} \rbrace $$ 이 때 다음 Lemma가 성립한다. $i \neq j$에 대해 $ab_i \not\equiv ab_j \quad (\bmod n)$이다. 증명은 귀류법으로 한다. 만약 $ab_i \equiv ab_j$인 $.. 더보기 오일러 공식 증명 - 세상에서 가장 아름다운 수식 수학자들을 대상으로 물어봤을 때, 가장 아름답다고 느끼는 공식이 무엇일까요? 바로 오늘, 수학자들이 뽑은 가장 아름다운 공식에 대해 살펴보도록 하겠습니다. 테일러 전개 저번 글에서 테일러 전개에 대해 살펴봤었습니다: https://dimenchoi.tistory.com/30 $\sin x$, $\cos x$, 그리고 $e^x$의 테일러 전개가 다음과 같음을 살펴봤었죠. \[ \begin{align*} e^x &= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \\ \sin x &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\ \cos x &= 1 - \frac{x.. 더보기 테일러 전개 오늘은 테일러 전개에 대해서 해보도록 하겠습니다. 테일러 전개는 다항식이 아닌 함수를 다항식으로 근사하는 테크닉입니다. 테일러 전개를 통해서 얻은 다항식을 테일러 급수라고 합니다. 그런데 유한 개의 항을 가진 다항식으로 바꾸면 이것은 '근사'가 되지만 무한한 항을 가진 다항식으로 바꾸면 기존 함수와 테일러 전개로 얻은 함수는 동일한 함수입니다. 단, 이는 함수가 이 되지 않고 무한 번 미분 가능한 함수에서만 가능한 얘기입니다. (사실 이것보다 더 다양한 조건이 필요하지만 내용이 어려워서 생략하겠습니다) "0이 되지 않고 무한 번 미분 가능한 함수가 있나요?" 네, 당연히 있습니다. 일반적인 다항식은 어느 정도 미분하다 보면 모든 항이 0이 되어버리지만, 예를 들어 $\sin x$ 의 경우에는 미분했을 때.. 더보기 미분방정식의 풀이 정리 Exact Equation Exact Differential: $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$일 때 $M(x, y)dx + N(x, y)dy=0$은 Exact Equation이 되며, 이 방정식의 해 $f$는 $\frac{\partial f}{\partial x} = M, \frac{\partial f}{\partial y} = N$을 만족한다. $2xy \; dx + (x^2-1)\;dy=0$ $M = 2xy, N = x^2 -1 \quad \rightarrow \quad \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$이므로 Exact이다. $M$을 $x$에.. 더보기 군론 (7) - 몫군 몫군 (Quotient Group) $\mathbb{C}^*$를 곱셈을 연산으로 하는 복소수가 이루는 군이라고 합시다. 이 군의 부분군의 예로는 $S^1 = \lbrace z \; | \; |z| = 1 \rbrace$가 있습니다. 복소수끼리 곱하면 편각은 더해지고, 길이는 곱해지므로, $S^1$은 군을 이룹니다. 여기서 $S^1$의 잉여류(Coset)를 취하겠습니다. 잉여류에 대해서는 군론 (4)에서 다뤘었지만, 간단히 요약하자면 $wS^1 = \lbrace wz \; | \; z \in S^1 \rbrace$ 꼴의 집합입니다. $wS^1$을 $S^w$로 나타나겠습니다. 예를 들어 $S^2$는 절댓값이 2인 복소수들의 집합입니다. 즉, $S^w$는 절댓값이 $w$인 복소수들의 집합이며, 이는 복소평면 .. 더보기 군론 (6) - 아벨군 닐스 헨리크 아벨 아벨군 (Abelian Group) 원래 군은 연산에 대해 닫혀있고, 항등원과 역원이 존재하며, 결합법칙이 성립하는 집합과 연산입니다. 여기에 추가로 교환법칙까지 성립하는 군을 아벨군이라고 합니다. 정의. $(S, \circ)$가 다음 다섯 조건을 만족할 때 아벨군(Abelian Group)을 이룬다고 한다. 1) 임의의 \(S\)의 원소 \(a, b\)에 대해 \(a \circ b\)도 \(S\)의 원소이다. 2) 임의의 \(S\)의 원소 \(a\)에 대해 \(e \circ a = a \circ e = a\)를 만족하는 \(S\)의 원소 \(e\)가 존재한다. 3) 임의의 \(S\)의 원소 \(a\)마다 \(a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e\)를 만족하는.. 더보기 군론 (5) - 준동형 사상과 동형 사상 수학에서는 특정 공간의 구조를 보존하는 사상에 관심이 많습니다. 대표적으로 선형대수학에서는 벡터 공간의 성질을 보존하는 선형 변환에 대해서 다루죠. 이를 추상화한 것이 바로 준동형 사상입니다. 준동형 사상 (Homomorphism) 정의. $G$(연산: $\cdot$)와 $H$(연산: $\circ$)가 군이라고 하자. 모든 $g_1, g_2 \in G$에 대해, $\varphi(g_1 \cdot g_2) = \varphi (g_1) \circ \varphi (g_2)$를 만족하는 함수 $\varphi : G \rightarrow H$를 준동형 사상(Homomorphism)이라고 한다. 예를 들어, $\log$는 군 $(\mathbb{R}^+, \times)$에서 군 $(\mathbb{R}, +)$로 가는.. 더보기 삼각함수의 미분 미적분 글을 다 끝낸 지 2주 정도 됐습니다.당시 미적분 글에서는 다항함수의 미적분에 대해서만 다뤘었는데요,이번에는 삼각함수(\( \sin x \), \( \cos x \), \( \tan x \))의 미분에 대해서 보도록 하겠습니다.사실 삼각함수는 저랑 나름 인연이 깊습니다. 제가 블로그에서 처음으로 올린 수학 글이 삼각비에 대한 글이었거든요.(http://blog.naver.com/a4gkyum/150160377119)그리고 어느덧 시간이 지나 이제 삼각함수의 미분에 대해 하고 있으니 감회가 새롭네요 ㅎㅎ 기본 지식 삼각함수의 미분을 하기 위해서는 먼저 삼각함수의 덧셈정리를 알고 계셔야 합니다.내용은 다음과 같습니다. \[ \sin (x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \.. 더보기 이전 1 2 3 4 5 6 다음
