미분방정식의 풀이 정리

Exact Equation

Exact Differential: $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$일 때 $M(x, y)dx + N(x, y)dy=0$은 Exact Equation이 되며, 이 방정식의 해 $f$는 $\frac{\partial f}{\partial x} = M, \frac{\partial f}{\partial y} = N$을 만족한다.

 

$2xy \; dx + (x^2-1)\;dy=0$

$M = 2xy, N = x^2 -1 \quad \rightarrow \quad \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$이므로 Exact이다.

$M$을 $x$에 대해 적분하여 $f$를 구한다. $f(x, y) = \int M dx = x^2y + g(y)$

$f$를 $y$에 대해 편미분하여 $g(y)$를 구한다. $\partial f / \partial y = x^2+g'(y) = N= x^2-1 \quad \therefore g(y) = -y + C$

$\therefore f(x, y)=x^2y-y+C$

 

Integratic Factor: $M(x, y)dx + N(x, y)dy=0$이 Exact가 아닐 때, 양변에 $\mu (x) = e^{\int (M_y - N_x)/N dx}$ 또는 $\mu(y) = e^{\int (N_x-M_y)/M dy}$를 곱하면 Exact가 된다.

 

$xy \; dx + (2x^2+3y^2-20)dy = 0$

$M_y = x, N_x = 4x \quad \rightarrow \quad \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}$이므로 Exact가 아니며 적분인자가 필요하다.

$\mu(x) = e^{\int (x-4x)/(2x^2+3y^2-20)dx}$ (불능)

$\mu(y) = e^{\int (4x-x)/xy \;dy}=e^{\int 3/y \; dy} = y^3$ (가능)

양변에 $y^3$ 곱하면 $xy^4\; dx + (2x^2y^3-3y^5-20y^3)dy = 0$ 은 Exact이다. 이후 풀이는 위와 동일.

 

Solutions by Substitution

Homogeneous Function: $f(tx, ty) = t^\alpha f(x, y)$일 때 $f$를 동차함수라 하며, 동차함수인 $M, N$에 대해 $M(x, y)dx + N(x, y)dy=0$ 꼴의 미분방정식은 $y=ux$ 치환을 사용하면 Seperable이 된다.

 

$(x^2+y^2)dx + (x^2-xy)dy =0$

$M, N$이 동차임을 쉽게 확인할 수 있다.

$y=ux$로 치환하면 $(x^2+u^2x^2)dx + (x^2-ux^2)(udx+xdu)=0$

정리하면 $\frac{u-1}{u+1}du = \frac{1}{x}dx$

양변을 적분한 뒤 정리한 뒤 다시 $u=y/x$를 대입하면 $(x+y)^2=cx^{y/x}$를 얻는다.

 

Bernoulli Equation: $y' + P(x)y = f(x)y^n$ 꼴의 미분방정식은 $u=y^{1-n}$ 치환을 사용하면 Linear이 된다.

 

$y'+y/x=xy^2$

$P(x) = \frac{1}{x}, f(x)=x, n=2$ 꼴의 베르누이이므로 $u=y^{-1}$ 치환을 이용한다.

치환 후 식을 정리하면 $\frac{du}{dx} -u/x = -x$. 선형미방이므로 적분인자 $e^{\int P(x)dx}=x^{-1}$을 이용.

$\frac{d}{dx}[x^{-1}u] = -1$. 적분한 뒤 다시 $y$를 대입하면 $y=1/(-x^2+cx)$를 얻는다.

 

Fundamental Set of Solutions

Homogeneous Linear: $a_n(x)y^{(n)}(x)+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots+a_0(x)y(x)=0$의 모든 해는 $y(x)=c_1y_1(x)+\cdots+c_ny_n(x)$로 나타낼 수 있으며 집합 $\lbrace{y_1, \cdots y_n\rbrace}$을 FSS라 한다.

Wronskian: $W \neq 0$이면 선형독립
$$
W={\begin{vmatrix}y_{1}(x)&y_{2}(x)&\cdots &y_{n}(x)\y_{1}'(x)&y_{2}'(x)&\cdots &y_{n}'(x)\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \y_{1}^{(n-1)}(x)&y_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &y_{n}^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}}
$$

 

HL의 근 찾기

Reduction of Order: HL에서 $y_1$을 알 때 $y=u(x)y_1$으로 치환
$$
y'' + P(x)y' + G(x)y = 0 \quad \Rightarrow \quad y_2 = y_1\int {e^{-\int P dx}}/{y_1^2}dx
$$

 

$y_1 = e^x$가 $y'' - y = 0$의 한 해임이 알려져 있을 때,

$y = u(x)y_1$으로 치환하여 차수를 줄이자.

$y' = ue^x+e^xu', y'' = ue^x+2e^xu'+e^xu''$

$\therefore y''-y = e^x(u''+2u')= 0 \quad \rightarrow \quad w'+2w=0 \quad (w=u')$

선형미방이 되었으므로 적분인자 $e^{2x}$를 활용해 $w=c_1e^{-2x}$를 얻을 수 있다.

양변을 적분하면 $u = -\frac{1}{2}c_1e^{-2x}+c_2$이며, 구하고자 하는 $y$는

$y = C_1e^{-x}+C_2e^x$임을 알 수 있다. (FSS는 $e^{-x}$와 $e^x$)

 

Constant Coefficient HL: 특성방정식($y^{(n)}\rightarrow t^n$)의 근이 $m$일 때 $y=e^{mx}$

• $k$중근인 경우 $e^{mx}, xe^{mx}, \cdots, x^{k-1}e^{mx}$
• 허근 $\alpha \pm \beta i$인 경우 오일러 공식 사용

$$
y=c_1e^{\alpha x}\cos{\beta x}+c_2e^{\alpha x}\sin{\beta x}
$$

 

$y^{(4)}+2y^{(2)}+y=0$

특성방정식 $m^4+2m^2+1$의 근은 $i, -i$이며 각각 이중근이다.

따라서 FSS는 $e^{ix}, xe^{ix}, e^{-ix}, xe^{-ix}$이다.

$e^{ix}$와 $e^{-ix}$의 선형결합은 $c_1 \cos x + c_2 \sin x$이다.

따라서 $y=c_1 \cos x + c_2 \sin x+x(c_3 \cos x + c_4 \sin x)$이다.

 

NHL의 근 찾기

Nonhomogeneous Linear: HL의 근 $y_c$ + 특성근(직관으로 유추 후 계수비교) $y_p$
$$
y=y_c+y_p
$$

 

$y'' + 4y' - 2y = 2x^2 -3x + 6$

먼저 HL $y'' + 4y' - 2y =0$의 해를 구한다.

특성방정식의 근이 $m=-2 \pm \sqrt{6}$이며, $y= c_1e^{-2-\sqrt{6}}+c_2e^{-2+\sqrt{6}}$이다.

그다음 NHL $y'' + 4y' - 2y = 2x^2 -3x + 6$의 특성근을 찾는다.

우변이 이차식이므로 $y_p=Ax^2 + Bx + C$임을 유추할 수 있다.

계수비교를 통해 $A=-1, B=-\frac{5}{2}, C=-9$를 얻는다.

따라서 $y = c_1e^{-2-\sqrt{6}}+c_2e^{-2+\sqrt{6}} -x^2 -\frac{5}{2}x -9$가 근이다.

 

 

몇 가지 $g(x)$의 값과 그에 따른 특성근 $y_p$의 유추
($p_n(x), q_n(x), r_n(x)$는 차수가 $n$인 다항식을 의미함)

$g(x)$	$y_p$의 꼴
$C_1$	$C_2$
$p_n(x)$	$q_n(x)$
$\sin nx$	$A \sin nx + B \cos nx$
$e^{nx}$	$Ae^{nx}$
$p_n(x)e^{mx}\sin {lx}$	$q_n(x)e^{mx}\sin lx + r_n(x)e^{mx}\cos lx$

 

Tip1: 중첩원리를 활용해 $y_p$를 구하자. 예를 들어서 $g(x)=x+e^x$일 때, $g_1(x) = x$의 특성근과 $g_2(x)=e^x$의 특성근을 선형결합하면 $g(x)$의 특성근이 된다.

 

Tip2: $y_p$에 $y_c$와 겹치는 항이 있다면 $y_p$에 $x^n$을 곱하여 중첩을 막아야 한다. 여기서 $n$은 $y_p$가 $y_c$와 겹치는 항이 없도록 하면서 $y_p$가 미분방정식의 해가 되도록 하는 가장 작은 정수이다. (예: $y''-2y'+y=e^x$)