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수학/해석학

칸토어의 축소구간 정리 해석학 시리즈 목차 해석학 시리즈 1. 실수의 완비성, 상계와 하계, 상한과 하한 1-1. 아르키메데스 원리와 유리수의 조밀성의 증명 1-2. 단조 수렴 정리의 증명 2. 거리 공간 3. 열린 공, 근방, 내부점, 경계점 4. 집적 dimenchoi.tistory.com 칸토어의 축소구간 정리는 실수의 완비성으로부터 얻어지는 무수히 많은 정리 중 하나입니다. 엄청 대단해 보이는 이름과는 달리 정리 자체는 꽤나 직관적입니다. 칸토어의 축소구간 정리는 '집합을 끊임없이 수축할 수 있다' 정도로 요약할 수 있습니다. 이 문장의 엄밀한 수학적 설명이 무엇인지 지금부터 알아가 보겠습니다. 먼저 축소구간(Nested Interval)의 정의를 짚고 넘어가겠습니다. 축소구간의 정의. $I_n = [a_n, b_n] .. 더보기
집적점과 고립점 (Limit point and Isolation point) 해석학 시리즈 목차 해석학 시리즈 1. 실수의 완비성, 상계와 하계, 상한과 하한 1-1. 아르키메데스 원리와 유리수의 조밀성의 증명 1-2. 단조 수렴 정리의 증명 2. 거리 공간 3. 열린 공, 근방, 내부점, 경계점 4. 집적 dimenchoi.tistory.com 저번 글을 쓴 지 거의 1년이 되었네요... 그동안 다른 일로 많이 바빠서 블로그를 쓸 겨를이 없었습니다 ㅠㅠ 드디어 다시 해석학 시리즈를 재개하고자 합니다. 저번에 근방에 대해서 배웠습니다. 근방이라는 개념은 해석학에서 정말 중요한 위치를 차지합니다. 이번 글에서 우리는 근방을 사용해서 집적점(limit point)과 고립점(isolation point)를 정의해 보겠습니다. 집적점 집적점의 정의하기에 앞서 빠진 근방이라는 개념을 도입.. 더보기
해석학 시리즈 목차 해석학 시리즈 1. 실수의 완비성, 상계와 하계, 상한과 하한 1-1. 아르키메데스 원리와 유리수의 조밀성의 증명 1-2. 단조 수렴 정리의 증명 1-3. 칸토어의 축소 구간 정리 2. 거리 공간 3. 열린 공, 근방, 내부점, 경계점 4. 집적점과 고립점 5. 볼차노-바이어슈트라스 정리 (해석학 시리즈는 2021년 6월 기준 휴재 중입니다) 더보기
해석학의 중요한 기초 정리들 사실 중요하다기보다는 제가 수강하고 있는 해석학 수업에서 교수님께서 강조한 정리를 수록한 것이지만, 그래도 중요하니까 교수님께서 다루셨겠지 하는 마음에, 그동안 필기한 정리들을 간단하게 소개해 봅니다 :) 각 정리의 설명과 함께 정리를 증명하는 간단한 아이디어를 소개해 놓았으니, 이 아이디어를 힌트 삼아 직접 증명해 보신다면 해석학 실력 향상에 도움이 될 듯 합니다. 칸토어의 축소구간 정리 축소구간 $[a_n, b_n]$에 대해 $\bigcap [a_n, b_n] \neq \emptyset$ 이며, 특히 $|b_n - a_n | \rightarrow 0$라면 홑원소 집합이다. Idea. 실수의 완비성으로 $\lbrace a_n \rbrace, \lbrace b_n \rbrace$의 상계와 하계를 잡는다... 더보기
단조 수렴 정리의 증명 해석학 시리즈 목차 해석학 시리즈 1. 실수의 완비성, 상계와 하계, 상한과 하한 1-1. 아르키메데스 원리와 유리수의 조밀성의 증명 1-2. 단조 수렴 정리의 증명 2. 거리 공간 3. 열린 공, 근방, 내부점, 경계점 4. 집적 dimenchoi.tistory.com 단조 수렴 정리는 미적분학에서 단골로 우려먹는 정리입니다. 단조 수렴 정리 (Monotone convergence theorem). 수열 $\lbrace a_n \rbrace$가 위로 유계인 단조증가수열이라고 하자. 즉, 모든 $n$에 대해 $a_{n+1} \geq a_n$이다. 이 때, $\lbrace a_n \rbrace$는 수렴한다. 위 정리를 증명하기에 앞서 수렴의 정의를 알아야 합니다. 가물가물한 $\epsilon - N$ 논법.. 더보기
아르키메데스 원리와 유리수의 조밀성의 증명 해석학 시리즈 목차 해석학 시리즈 1. 실수의 완비성, 상계와 하계, 상한과 하한 1-1. 아르키메데스 원리와 유리수의 조밀성의 증명 1-2. 단조 수렴 정리의 증명 2. 거리 공간 3. 열린 공, 근방, 내부점, 경계점 4. 집적 dimenchoi.tistory.com 저번에 실수의 완비성에 대해 알아보았습니다. 실수의 완비성. $S$가 공집합이 아닌 실수 집합의 부분집합이라고 하자.$S$ 가 위로 유계라면(상계를 가진다면), $\sup S \in \mathbb{R}$이다. 실수의 완비성은 매우 간단해 보이지만 이 성질로부터 무수히 많은 정리가 따라옵니다. 이번 글에서는 그 정리의 일부인 아르키메데스 원리와 유리수의 실수 위에서의 조밀성(즉, 두 실수 사이에는 항상 유리수가 존재함)을 증명해 보겠습니다.. 더보기
열린 공, 근방, 내부점, 경계점 해석학 시리즈 목차 해석학 시리즈 1. 실수의 완비성, 상계와 하계, 상한과 하한 1-1. 아르키메데스 원리와 유리수의 조밀성의 증명 1-2. 단조 수렴 정리의 증명 2. 거리 공간 3. 열린 공, 근방, 내부점, 경계점 4. 집적 dimenchoi.tistory.com 이번 글에서는 추후의 논의를 위해 몇 가지 용어를 정리하겠습니다. 열린 공 (Open ball) 열린 공(Open ball). 거리 공간 $(X, d)$ 위의 점 $a$를 중심으로 하는 반지름 $r$의 열린 공 $B_r(a)$를 다음과 같이 정의한다. \[B_r(a) = \lbrace x | d(x, a) < r \rbrace \] 유클리드 거리 공간에서 열린 공은 우리가 일반적으로 생각하는 공과 똑같습니다. 3차원의 공은 구가 되고, .. 더보기
거리 공간 해석학 시리즈 목차 해석학 시리즈 1. 실수의 완비성, 상계와 하계, 상한과 하한 1-1. 아르키메데스 원리와 유리수의 조밀성의 증명 1-2. 단조 수렴 정리의 증명 2. 거리 공간 3. 열린 공, 근방, 내부점, 경계점 4. 집적 dimenchoi.tistory.com 더 높은 차원에서의 극한 첫 글에서 말했다시피 해석학의 첫 번째 목적은 미적분학을 엄밀히 정의하는 것이고, 두 번째 목적은 미적분학의 개념을 다양하게 확장하는 것입니다. 거리 공간은 두 번째 목적의 한 예시입니다. 거리 공간은 우리가 일반적으로 아는 거리를 확장한 개념입니다. 우리가 일반적으로 아는 1차원의 두 점 $x, y$ 사이의 거리는 다음과 같습니다. \[ |y - x| \] 그리고 위의 식은 미적분학에서 가장 중요하게 쓰이는 식.. 더보기

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