해석학의 중요한 기초 정리들

사실 중요하다기보다는 제가 수강하고 있는 해석학 수업에서 교수님께서 강조한 정리를 수록한 것이지만,

그래도 중요하니까 교수님께서 다루셨겠지 하는 마음에, 그동안 필기한 정리들을 간단하게 소개해 봅니다 :)

각 정리의 설명과 함께 정리를 증명하는 간단한 아이디어를 소개해 놓았으니,

이 아이디어를 힌트 삼아 직접 증명해 보신다면 해석학 실력 향상에 도움이 될 듯 합니다.

칸토어의 축소구간 정리

축소구간 $[a_n, b_n]$에 대해 $\bigcap [a_n, b_n] \neq \emptyset$ 이며, 특히 $|b_n - a_n | \rightarrow 0$라면 홑원소 집합이다.

 

Idea. 실수의 완비성으로 $\lbrace a_n \rbrace, \lbrace b_n \rbrace$의 상계와 하계를 잡는다. 두 번째 부분은 단조수렴정리를 쓴다.

볼차노 - 바이어슈트라스 정리

Ver 1. 유계인 무한집합은 집적점을 가진다.

 

Idea.

1. 유계이므로 실수의 완비성에 의해 $V \in [-M, M]$인 실수 $M$이 존재한다.
2. 이 구간을 지속적으로 반으로 나누면 칸토어의 축소구간 정리에 의해 홑원소집합 $\lbrace \lambda \rbrace$가 얻어진다.
3. $\lambda$가 집적점임을 보인다.

Ver 2. 유계인 수열은 수렴하는 부분수열을 가진다.

 

Idea. $m > n \Rightarrow a_m < a_n$을 만족하는 $n$을 꼭대기라고 하자. 꼭대기가 무한할 때, 유한할 때로 나눠서 단조성을 보인다. 단조수렴정리를 사용하면 끝.

코시 수열

수열이 수렴할 필요충분조건은 코시 수열인 것이다.

 

Idea. 충분조건은 쉽다. 필요조건을 보인다.

1. $\lbrace a_n \rbrace$가 유계이다.
2. 볼차노 - 바이어슈트라스 정리에 따라 $\lambda$로 수렴하는 부분수열이 있음을 보인다.
3. $\lambda$의 $\epsilon/2$ 근방으로 들어가고, 코시 수열의 $\epsilon / 2$로 들어가도록 하는 $N$을 찾은 뒤, 삼각부등식을 적용한다.

하이네 - 보렐 정리

$K \in \mathbb{R}$에 대해, $K$가 컴팩트할 필요충분조건은 유계이고 닫힌집합인 것이다.

 

Idea.

$(\Rightarrow)$ 유계인 것은 보이기 쉽다. 닫힌집합이어야 함을 보인다.

1. 집적점과 $K \in (-M, M)$인 $M$이 존재함을 보인다.
2. $V_n = (-M, M) - (\lambda - 1/n, \lambda + 1/n)$으로 정의하면, $\lbrace V_n \rbrace$가 열린덮개이다.
3. $K$가 컴팩트하므로 $n$이 상계를 가진다는 사실과 집적점의 성질을 이용한다.

$(\Leftarrow)$ 귀류법을 사용한다.

1. 볼차노 - 바이어슈트라스 증명의 접근법을 이용해서 $K$의 덮개 $C$의 유한부분집합에 덮이지 않는 $K$의 부분집합열 $\lbrace I_n \rbrace$이 존재하고, $\bigcap I_n = \lbrace \lambda \rbrace$가 됨을 보인다.
2. $\lambda \in K$이고, $\lambda \in V \in C$인 $V$가 존재함을 보인다.
3. $I_n$이 $(\lambda - \epsilon, \lambda + \epsilon)$에 속하며, 떄문에 가정과 모순임을 보인다.

균등연속함수

연속: $\forall x \ \ \forall \epsilon \ \ \exists \delta(x, \epsilon) \;\; s.t. \;\; f(B_{\delta}(x)) \subset B_\epsilon (f(x))$
균등연속: $\forall x \ \ \forall \epsilon \ \ \exists \delta(\epsilon) \;\; s.t. \;\; f(B_{\delta}(x)) \subset B_\epsilon (f(x))$

$f : (X, d) \rightarrow (Y, \rho)$에 대해, $f$가 연속이고 $X$가 컴팩트라면, $f$는 균등연속이다.

 

Idea.

1. 컴팩트이므로 $\bigcup B_{\delta(x)}(x)$ 중 유한부분덮개가 있다.
2. $|x- y| < \delta$라면 $x, y$가 유한부분덮개의 열린집합 중 하나에 함께 포함됨을 보인다.

바나흐 고정점 정리

축약함수: $|f(x) - f(y)| \leq q|x - y| \ \ (0 < q < 1)$

$f$가 축약함수일 때, 고정점 $p = f(p)$는 항상 존재하며 유일하다.

 

Idea.

1. $x_{n+1} = f(x_n)$일 때 삼각부등식을 이용해서 $d(x_{n+1}, x_n)$과 $d(x_1, x_0)$ 사이의 부등식을 찾는다.
2. $\lbrace x_n \rbrace$가 코시임을 보인다.
3. $\lbrace x_n \rbrace$의 수렴값 $p$가 고정점임을 보인다. (모든 축약함수는 균등연속임을 사용!)

번스타인 정리

정의역이 $[a, b]$인 연속함수의 집합 $C[a, b]$ 위에서 다항함수의 집합 $P[a, b]$는 조밀하다.

 

cf. 번스타인 다항식: $f \in C[a, b]$에 대해, $B_n(x) = \sum_{k=0}^n ;_nC_k x^k (1-x)^{n-k} f\left(k/n\right)$은 $f$로 수렴한다.

극한과 연속의 위상적 정의

$X$ 위에서 정의된 위상 $\tau$는 아래 3가지 조건을 만족한다.
1. $\phi, X \in \tau$
2. $\tau$에 속하는 임의의 개수의 집합의 합집합이 $\tau$에 속한다.
3. $\tau$에 속하는 유한한 개수의 집합의 교집합이 $\tau$에 속한다.

$x_n \rightarrow \lambda$를 아래와 같이 정의한다.
$\exists N \ \ \forall n >N, \quad \gamma \in V \in \tau \Rightarrow x_n \in V$

 

ex.

• $\tau = \lbrace \phi, X \rbrace$에서는 모든 수열이 수렴한다.
• $\tau = \mathcal{P}(x)$에서는 항등수열을 제외한 모든 수열이 발산한다.
• 메트릭 위상에서는 입실론 델타의 정의와 수렴 조건이 같다.

$f$가 연속이다를 아래와 같이 정의한다. $$ \forall N \in \tau' \quad f^{-1}(N) \in \tau $$

 

ex. $\tau'$가 메트릭 위상일 때,

• $\tau = \lbrace \phi, X \rbrace$에서는 항등함수를 제외한 모든 함수가 불연속이다.
• $\tau = \mathcal{P}(x)$에서는 모든 함수가 연속이다.
• 메트릭 위상에서는 입실론 델타의 정의와 연속 조건이 같다.

그 외의 정리

• 유리수는 가산집합이다.
• 유클리드 거리는 메트릭이다.
• 택시 거리와 체비세프 거리는 메트릭이다.
• $S$가 코시 유리수열의 집합일 때, $R = \lbrace \lbrace q_n\rbrace, \lbrace q'_n \rbrace \in S \times S \ | \ d(q_n, q'_n) \rightarrow 0 \rbrace$은 동치관계이다.
• 유클리드 거리를 메트릭으로 하는 $(0, 1]$은 완비 공간이 아니다.
• 모든 실수의 열린 부분집합은 가산 개의 disjoint한 열린 구간의 합집합이다.
• 거리 공간에서 수렴하는 수열의 극한은 유일하다.
• 여러 개의 이진표현을 가지는 $x \in [0, 1]$의 집합은 가산집합이다.
• $X$에서 조밀한 정의역 $X_0$에서 $\tilde{f}(x) = f(x)$를 만족하는 연속함수 $\tilde{f}$는 $X$에서 연속이 되도록 확장할 수 있다.
• 번스타인 다항식으로 근사하기
• 연속함수는 정의역의 컴팩트성과 연결성을 보존한다.
• 정의역이 컴팩트인 연속함수는 균등연속이다.