집적점과 고립점 (Limit point and Isolation point)

해석학 시리즈 목차

 

저번 글을 쓴 지 거의 1년이 되었네요...

그동안 다른 일로 많이 바빠서 블로그를 쓸 겨를이 없었습니다 ㅠㅠ

드디어 다시 해석학 시리즈를 재개하고자 합니다.

 

저번에 근방에 대해서 배웠습니다.

근방이라는 개념은 해석학에서 정말 중요한 위치를 차지합니다.

이번 글에서 우리는 근방을 사용해서 집적점(limit point)과 고립점(isolation point)를 정의해 보겠습니다.

 

집적점

집적점의 정의하기에 앞서 빠진 근방이라는 개념을 도입하겠습니다.

빠진 근방의 정의. $x$의 근방 $N$에 대해 $N' = N - \lbrace x \rbrace$를 $N$의 빠진 근방이라고 한다.

빠진 근방의 정의는 간단합니다. $x$의 근방에서 $x$를 빼면 빠진 근방이 됩니다.

빠진 근방을 이용해서 집적점을 아래와 같이 정의합니다.

집적점의 정의. $x$의 빠진 근방이 항상 $S$의 어떤 원소를 포함한다면, $x$는 $S$의 집적점이다.

그렇다면 집적점은 어떤 점일까요? 아래와 같은 집합 $S$로 예시를 들어 보겠습니다.

아래 그림에서 검정색 점은 $S$에 속하는 점이고, 흰색 점은 $S$에 속하지 않는 점입니다.

 

먼저 내부점의 정의로부터 $x$와 같은 내부점은 항상 집적점임을 알 수 있습니다.

이 사실은 일반적인 위상에서는 성립하지 않지만, 지금 우리가 논의하고 있는 일반적인 위상에서는 성립합니다.

위상에 대한 논의는 나중에 하도록 하겠습니다.

 

뿐만 아니라 $y$ 또한 집적점입니다.

$y$는 $S$의 원소가 아니기 때문에 내부점은 아니지만,

집적점은 $S$의 원소일 필요가 없기 때문에 $y$는 집적점입니다.

 

또한 $z$와 같은 일부 경계점은 집적점입니다.

$z$의 모든 빠진 근방은 $S$의 내부 영역을 일부 지나가기 때문입니다.

 

하지만 $w$와 같은 일부 경계점은 집적점이 아닙니다.

일단 $w$는 경계점이 맞긴 맞습니다.

왜냐하면 $w$의 근방은 $S$의 원소($w$)와 $S$의 외부점을 포함하기 때문입니다.

하지만 $w$의 빠진 근방은 $S$의 원소를 하나도 포함하지 않습니다.

때문에 $w$는 $S$의 집적점이 아닙니다.

 

고립점

고립점의 정의는 아래와 같습니다.

고립점의 정의. $x\in S$의 빠진 근방이 항상 $S$의 원소를 하나도 포함하지 않는다면, $x$는 $S$의 고립점이다.

고립점과 집적점의 정의로부터 아래의 사실을 알 수 있습니다.

고립점과 집적점의 관계. $x\in S$가 집적점이 아니라면 $x$는 고립점이다.

예를 들어 앞서 들었던 예시에서 $w$는 $S$의 고립점입니다.

$w$가 고립점이라는 사실은 우리가 '고립'이라는 단어에서 떠올리는 이미지와 잘 부합합니다.

 

수열의 집적점

해석학에서는 우리가 지금까지 다룬 집합의 집적점과 별개로 수열의 집적점 또한 정의합니다.

수열의 집적점. 수열 $\lbrace a_n \rbrace$의 부분수열의 수렴값을 수열의 집적점이라고 한다.

수열의 수렴값은 $\epsilon - N$ 논법으로 정의할 수 있습니다.

$\epsilon - N$ 논법은 아마 기초 미적분학을 수강한 분들이라면 배우셨겠지만,

이에 대한 자세한 설명은 나중에도 따로 하도록 하겠습니다.

 

예를 들어 보겠습니다. 아래와 같은 수열을 생각해 봅시다.

\[ a_n = (-1)^n \]

위 수열은 고등학교 미적분에서는 발산하는 수열입니다.

하지만 위 수열의 부분수열 $\lbrace a_{2n} \rbrace$과 $\lbrace a_{2n + 1} \rbrace$은 각각 $1$과 $-1$로 수렴합니다.

때문에 $\lbrace a_n \rbrace$의 집적점은 $1$과 $-1$입니다.

 

수열의 집적점과 집합의 집적검은 매우 다른 방식으로 정의하기 때문에,

왜 두 완전히 다른 개념에 같은 이름을 붙였는지 의아할 수 있습니다.

두 개념이 같은 이름을 가지고 있는 이유 중 하나는, 볼차노 - 바이어슈트라스 정리와 관련이 있습니다.

볼차노 - 바이어슈트라스 정리가 무엇인지에 대해서는 다음 글에서 알아보도록 하겠습니다!

 

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