미적분 (3) - 미분 공식
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극한: http://dimenchoi.tistory.com/18
미분(1) - 미분의 정의와 계산법: http://dimenchoi.tistory.com/19
미분(2) - 미분 공식: https://dimenchoi.tistory.com/33
적분(1) - 적분의 의미와 부정적분: https://dimenchoi.tistory.com/34
적분(2) - 정적분의 정의: https://dimenchoi.tistory.com/35
적분(3) - 미적분의 기본 정리: https://dimenchoi.tistory.com/36
미분을 할 때마다
\[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{\Delta x} \]
를 대입하는 건 아무래도 너무 번거롭고 짜증나고 노답입니다. 다행히도 미분 공식이 몇 가지 존재합니다. 한번 알아보도록 하겠습니다.
도함수
저번 글에서 함수 $f(x)$의 접선의 기울기를 알려주는 함수를 $f(x)$의 도함수라고 한다고 배웠습니다. 보통 도함수는 원래 함수에 $'$을 붙여서 다음과 같이 표기합니다.
\[ f'(x) \]
앞서 보았던 미분의 정의에 의해 다음이 성립합니다.
\[ f'(x) = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \]
이 때 $f'(x)$를
\[ f'(x) = y' = \frac{dy}{dx} = \frac{d f(x)}{dx} = \frac{d}{dx}f(x) \]
등으로 나타내기도 합니다.
여기서 $d$의 의미는 매우 작은 $\Delta$입니다. 즉 $dy/dx = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Delta y / \Delta x$입니다.
그리고 $f'(x)$에 $x=a$를 대입한 값을 $a$에서의 미분계수라고 합니다.
즉 $x=a$에서의 미분계수는 $f'(a)$가 되는 거죠.
$x^n$의 미분
미분의 공식 중에서도 가장가장 중요한, 이거 하나면 왠만한 미분은 다 할 수 있는 공식입니다.
\[ f(x) = x^n \quad \Rightarrow \quad f'(x) = nx^{n-1} \]
증명은 다음과 같습니다. 인수분해 공식 $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \cdots + xy^{n-2} + y^{n-1})$을 사용합니다.
\[ \begin{align*}
\frac{dy}{dx} &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\
&= \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{(x+\Delta x)^n - x^n}{\Delta x} \\
&= \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\lbrace (x + \Delta x) - x \rbrace \lbrace (x+\Delta x)^{n-1} + (x+\Delta x)^{n-2}x + \cdots + x^{n-1} \rbrace}{\Delta x} \\
&= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \lbrace (x+\Delta x)^{n-1} + (x+\Delta x)^{n-2}x + \cdots + x^{n-1} \rbrace\\
&= x^{n-1} + x^{n-1} + \cdots + x^{n-1} = nx^{n-1}
\end{align*} \]
그러면 문제 몇개...
1) $y=x^3$를 미분하면?
$3x^2$
2) $y=x^4$를 미분하면?
$4x^3$
다항식의 미분
추가로 미분은
$y=c$일 때 $y' = 0$
$y = cf(x)$일 때 $y' = cf'(x)$
$y = f(x) \pm g(x)$일 때 $y' = f'(x) \pm g'(x)$
(단, $c$는 상수)
라는 성질도 성립합니다. 증명이 어렵지는 않으니 여러분 스스로 해보실 시간을 좀 드리겠습니다.
...
...
...
...네! 그럼 이제 하실 분들은 다 하신 거 같으니 증명과정을 보여드리겠습니다.
1) $y=c$의 기울기는 0이므로 $y=c$일 때 $y' = 0$이다. (미분의 정의로도 보일 수 있음)
2) $y = cf(x)$에 대해
\[ \begin{align*}
y' &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{cf(x+ \Delta x) - cf(x)}{\Delta x} \\
&= \lim_{\Delta x \rightarrow 0}c \frac{f(x+ \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\
&= c\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x+ \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \quad (\because \text{극한의 성질} \\
&= cf'(x)
\end{align*} \]
3) $y = f(x) \pm g(x)$에 대해
\[ \begin{align*}
y' &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\lbrace f(x+ \Delta x) \pm g(x+ \Delta x) \rbrace - \lbrace f(x) \pm g(x) \rbrace}{\Delta x} \\
&= \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\lbrace \frac{f(x+ \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \pm \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} \rbrace \\
&= f'(x) \pm g'(x) \quad (\because \text{극한의 성질})
\end{align*} \]
그렇다면 일반적으로 다항식의 미분은
\[ f(x) = x^n \quad \Rightarrow \quad f'(x) = nx^{n-1} \]
으로 전부 해치울 수 있습니다.
3) $y=3x^3$을 미분하면?
$y'=3(x^3)'=9x^2$
4) $y=2x^4$을 미분하면?
$y'=2(x^4)'=8x^3$
5) $y=2x^4+3x^3+x^2+5x+6$을 미분하면?
$y'=2(x^4)'+3(x^3)'+(x^2)+5=8x^3+9x^2+2x+5$
추가로 이 공식은 n이 자연수가 아닌, 유리수일 때도 성립합니다.
예를 들어 $y=\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$의 미분은 $y' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ 입니다.
두 함수의 곱의 미분
$y=f(x)g(x)$일 때, $y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$가 성립합니다.
$y' = f'(x)g'(x)$가 아니라는 점 유의해 주시기 바랍니다.
증명은 아래와 같습니다. 먼저 $\Delta y$의 식을 변형하겠습니다.
\[ \begin{align*}
\Delta y &= f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x) \\
&= f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x) \\
&= \lbrace f(x+\Delta x) - f(x) \rbrace g(x+\Delta x) + f(x)\lbrace g(x+\Delta x)-g(x)\rbrace
\end{align*} \]
따라서 $y$의 미분은 다음과 같습니다.
\[ \begin{align*}
y' &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x} \\
&= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \lbrace \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}g(x+\Delta x)+f(x)\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\rbrace \\
&= f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
\end{align*} \]
6) $f(x)=(x-1)(x^3-2x+1)$를 미분하면?
$f'(x)=(x-1)'(x^3-2x+1)+(x-1)(x^3-2x+1)'=1(x^3-2x+1)+(x-1)(3x^2-2)=4x^3-3x^2-4x+3$
네 이제 대부분의 미분 공식은 전부 다 끝났네요...
이제 마지막 하나! 합성함수의 미분법이 남아 있습니다.
그런데 합성함수의 미분법은 미적2에 나오는 개념인만큼 위에서 보인 미분 공식보다 더 까다롭습니다.
따라서 이에 대한 증명은 나중에 별개의 포스팅으로 찾아뵙도록 하겠습니다 :)
저는 다음에 적분편에서 뵙도록 하겠습니다!
