'수학/미분방정식' 카테고리의 글 목록

Processing math: 100%

본문 바로가기

수학/미분방정식

라플라스 변환을 이용한 미분방정식의 풀이 라플라스 변환 라플라스 변환은 미분방정식 최후의 수단입니다. 비록 라플라스 변환으로 미분방정식을 푸는 과정은 매우 길고 복잡하지만, 왠만한 선형미방은 다 풀 수 있습니다. 심지어 불연속 함수가 있는 방정식까지요. 오늘은 라플라스 변환에 대해 알아보겠습니다. 정의 라플라스 변환은 아래와 같이 정의됩니다.

$\mathcal{L}\lbrace f(t) \rbrace = \int^\infty_0 e^{-st} f(t)dt$ 즉, 라플라스 변환은

$t$ 에 대한 함수

$f(t)$ 를

$s$ 에 관한 함수

$F(s)=\mathcal{L}\lbrace f(t) \rbrace$ 로 변환합니다. 예시로 지수함수의 라플라수 변환을 보겠습니다. $$ \begin{align}\mathcal{L}\lbrace e^{-3t}\r.. 더보기

미분방정식의 풀이 정리 Exact Equation Exact Differential:

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 일 때

$M(x, y)dx + N(x, y)dy=0$ 은 Exact Equation이 되며, 이 방정식의 해

$f$ 는

$\frac{\partial f}{\partial x} = M, \frac{\partial f}{\partial y} = N$ 을 만족한다.

$2xy \; dx + (x^2-1)\;dy=0$

$M = 2xy, N = x^2 -1 \quad \rightarrow \quad \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 이므로 Exact이다.

$M$ 을

$x$ 에.. 더보기

티스토리툴바