벡터장의 회전과 발산 (Curl과 Divergence)

Divergence를 한국어로 발산이라고 하고,
Curl은 한국어로 회전이라고 합니다.
저는 개인적으로 원어가 편하고 여러분도 원어에 익숙해지는 것이 나중에 편하기 때문에 아래 글에서는 원어로 쓰겠습니다.

Curl과 Divergence의 의미

먼저 Curl이란 벡터장 내 임의의 지점에서의 회전율을 의미합니다.
직관적으로 생각하면, 주어진 벡터장이 물이 어떻게 흐르는지를 나타낸다고 하면,
Curl이란 어떤 지점에 이쑤시개를 띄웠을 때 이 이쑤시개가 어느 방향으로 얼마나 빠르게 회전하는지를 알려줍니다.
Curl의 값이 +가 나오면 반시계방향, -가 나오면 시계방향으로 이쑤시개가 돈다는 뜻이며,
Curl의 값이 클수록 이쑤시개가 빠르게 회전한다는 의미입니다.

 

한편 Divergence란 벡터장 내 임의의 지점에서 발산율을 의미합니다.
예를 들어서 수조에 구멍이 뚫려있다면, 구멍 근처에서의 Divergence는 음의 값이며,
수조에 펌프가 있다면 펌프 근처에서의 Divergence는 양의 값입니다.

그림으로 예를 들어 설명하겠습니다.

Curl과 Divergence의 개념은 전기역학, 유체역학 등 다양한 역학에서 정말 많이 등장합니다.
당장 맥스웰 방정식만 봐도 Curl과 Divergence로 도배가 된 식을 볼 수 있습니다.
지금부터 그 계산법과 유도 방법을 살펴보겠습니다.

Curl의 계산법

벡터장 $\mathbf{F}=M(x, y)\hat{i} + N(x, y)\hat{j}$에 대하여 $\mathbf{F}$의 curl은 $(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \hat{k}$ 라고 씁니다.
참고로 $\nabla$는 델 연산자, 또는 나블라 라고 읽으며, 대략 아래와 같은 의미입니다.\[
\nabla = \begin{bmatrix}\partial/\partial x \\ \partial/\partial y \\ \partial/\partial z\end{bmatrix}
\]
계산법은 표기를 정직하게 따라가면 알 수 있습니다.
\[
\begin{align*}(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \hat{k} &= \left(\begin{bmatrix}\partial/\partial x \\ \partial/\partial y \\ \partial/\partial z\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}M \\ N \\ 0\end{bmatrix}\right)\cdot \hat{k} \\ &= \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ \frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\end{bmatrix}\cdot \hat{k}\end{align*}
\]
따라서 curl의 계산법은 다음과 같습니다.
\[
(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \hat{k}=\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}
\]

Curl의 유도

왜 위의 식이 성립하는지 간략히 알아보겠습니다.

위와 같이 벡터장(회색)이 있습니다.
여기에서 $(x, y)$를 한 꼭짓점으로 하는 작은 직사각형을 잡겠습니다(흑색).
이 직사각형에서 회전율을 구하기 위해 다음과 같은 방법을 사용하겠습니다.

 

1. 직사각형의 변의 방향에 해당하는 벡터장의 성분을 취합니다. (회전에 얼마나 크게 기여하는가)
2. 그 성분과 직사각형의 변의 길이를 곱합니다. (회전에 얼마나 오래 기여하는가)
3. 이 값을 모든 네 변에 대해 구한 후 모두 더합니다. (벡터장 전체가 회전에 얼마나 기여하는가)
4. 이 값을 직사각형의 넓이로 나눕니다. (단위 넓이 당 회전율을 보기 위해서)

먼저 2번까지 하면 아래와 같습니다.
\[
\begin{align}\text{Left}&&-N(x, y)\Delta y\\ \text{Bottom}&&M(x, y)\Delta x\\ \text{Right}&&N(x+\Delta x, y)\Delta y\\ \text{Top}&&-M(x, y+\Delta y)\Delta x\end{align}
\]
입니다. 여기서 Top하고 Bottom만을 더하면 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
\[
-\frac{M(x, y+\Delta y)-M(x, y)}{\Delta y}\Delta y \Delta x
\]
직사각형이 충분히 작다면 위 식은 $-\partial M /\partial y \cdot \Delta y \Delta x$로 쓸 수 있습니다.
마찬가지로 Left와 Right을 더하면 $\partial N / \partial x \cdot \Delta x \Delta y$로 쓸 수 있습니다.

이 둘을 더하면 $(\partial N / \partial x - \partial M / \partial y)\Delta x \Delta y$를 얻습니다.
직사각형의 넓이가 $\Delta x \Delta y$이므로 이 값으로 나누면 $(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \hat{k}=\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}$을 얻습니다!

Curl에 대한 한 가지 노트

사실 원래 curl은 스칼라 값이 아닌 벡터이며, $\nabla \times \mathbf{F}$로 계산합니다.
즉, 원래 curl은 3차원 벡터장에서 정의되는 3차원 벡터입니다.
하지만 의미는 우리가 위에서 다룬 것과 흡사합니다.
쉽게 설명하자면, 바람이 부는 허공에 탁구공이 떠있을 때 이 탁구공이 어느 방향으로 얼마나 빠르게 회전하는지 알려줍니다.
curl의 벡터가 가르키는 방향에서 오른손 법칙을 활용하여 탁구공의 회전 방향을 알 수 있죠.

Divergence의 계산법

$\mathbf{F}$의 divergence은 $\nabla \cdot \mathbf{F}$ 라고 씁니다.
Curl과 달리 divergence는 정말 스칼라가 맞습니다.
계산은 여러분이 표기법에서 예상하셨겠다시피
\[
\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial M}{\partial x} + \frac{\partial N}{\partial y}
\]
입니다.

Divergence의 유도

Curl의 유도와 거의 흡사하기 때문에 굳이 다룰 필요는 없을 것 같습니다.
Curl과 Divergence의 유도를 연습하고 싶으신 분들에게 연습문제로 남겨두겠습니다.
아래의 그림을 참고하시길 바랍니다.

관련된 정리

Curl과 Divergence는 그린 정리, 스토크스 정리, 발산 정리라는 미적분학의 3대장 정리의 주인공입니다.
이 정리는 맥스웰 방정식의 유도를 비롯한 다양한 방정식의 유도에서 핵심적인 역할을 합니다.
(대충 짱짱 중요하다는 소리)
이 세 정리에 대해서는 다음 포스팅에서 뵙겠습니다.