군론 (3) - 부분군과 생성자
저번에는 대칭군, 순환군, 그리고 정이면체군에 대해서 알아보았습니다. 이번에는 부분군과 생성자에 대해서 알아보겠습니다. 1. 부분군 집합 $G$가 연산 $\circ$에 대해 군을 이룬다고 합시다. 여기서 집합 \(S\)의 부분집합 \(H\)를 생각해 봅시다. 운이 좋으면 \((H, \circ)\)가 또 하나의 군을 이룰 수도 있습니다. 이러한 군을 부분군이라고 합니다. Definition 1.1 군 \((G, \circ)\)에 대해, \(H \subset G\)가 군 \((H, \circ)\)를 이룰 때, 군 \(H\)를 군 \(G\)의 부분군이라고 한다. 예를 들어 보겠습니다. 순환군 \(Z_{10}\)을 보겠습니다. 순환군의 집합 \(\lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ..
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군론 (2) - 순환군, 대칭군, 정이면체군
저번에 군의 정의에 대해서 알아보았으며, 정수군을 비롯한 몇 가지 군의 예시와, 군이 아닌 것의 예시를 보았습니다. 이번에는 군론에서 가장 빈번히 등장하는 세 종류의 군, 순환군(Cyclic Group), 대칭군(Symmetric Group), 정이면체군(Dihedral Group)에 대해서 알아보겠습니다. 1. 순환군 모듈러 n 덧셈을 아래와 같이 두 수의 합을 n으로 나눈 나머지로 정의하겠습니다. \[ 3 +_{\bmod 5} 4 = 2 \] 다음과 같은 집합을 생각해 보겠습니다. \[ Z_4 = \lbrace 0, 1, 2, 3 \rbrace \] 이 집합과 \(+_{\bmod 4}\) 연산은 군을 이룹니다. 한 번 확인해 보겠습니다. 1) \(Z_4\)의 어떤 두 원소를 합해도 4로 나눈 나머지는..
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