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수학

열린 공, 근방, 내부점, 경계점 해석학 시리즈 목차 해석학 시리즈 1. 실수의 완비성, 상계와 하계, 상한과 하한 1-1. 아르키메데스 원리와 유리수의 조밀성의 증명 1-2. 단조 수렴 정리의 증명 2. 거리 공간 3. 열린 공, 근방, 내부점, 경계점 4. 집적 dimenchoi.tistory.com 이번 글에서는 추후의 논의를 위해 몇 가지 용어를 정리하겠습니다. 열린 공 (Open ball) 열린 공(Open ball). 거리 공간 $(X, d)$ 위의 점 $a$를 중심으로 하는 반지름 $r$의 열린 공 $B_r(a)$를 다음과 같이 정의한다. \[B_r(a) = \lbrace x | d(x, a) < r \rbrace \] 유클리드 거리 공간에서 열린 공은 우리가 일반적으로 생각하는 공과 똑같습니다. 3차원의 공은 구가 되고, .. 더보기
거리 공간 해석학 시리즈 목차 해석학 시리즈 1. 실수의 완비성, 상계와 하계, 상한과 하한 1-1. 아르키메데스 원리와 유리수의 조밀성의 증명 1-2. 단조 수렴 정리의 증명 2. 거리 공간 3. 열린 공, 근방, 내부점, 경계점 4. 집적 dimenchoi.tistory.com 더 높은 차원에서의 극한 첫 글에서 말했다시피 해석학의 첫 번째 목적은 미적분학을 엄밀히 정의하는 것이고, 두 번째 목적은 미적분학의 개념을 다양하게 확장하는 것입니다. 거리 공간은 두 번째 목적의 한 예시입니다. 거리 공간은 우리가 일반적으로 아는 거리를 확장한 개념입니다. 우리가 일반적으로 아는 1차원의 두 점 $x, y$ 사이의 거리는 다음과 같습니다. \[ |y - x| \] 그리고 위의 식은 미적분학에서 가장 중요하게 쓰이는 식.. 더보기
실수의 완비성, 상계와 하계, 상한과 하한 해석학 시리즈 목차 해석학 시리즈 1. 실수의 완비성, 상계와 하계, 상한과 하한 1-1. 아르키메데스 원리와 유리수의 조밀성의 증명 1-2. 단조 수렴 정리의 증명 2. 거리 공간 3. 열린 공, 근방, 내부점, 경계점 4. 집적 dimenchoi.tistory.com 해석학은 많은 수학도들에게 있어 처음으로 높디 높은 수학의 벽을 보여주는 학문입니다. 해석학에는 다소 추상적이고 난해한 아이디어와 증명이 많아 처음부터 쉽게 이해하기는 힘듭니다. 하지만 그만큼, 더 엄밀하고 수준높은 수학으로 다가가기 위한 필수 학문이라고 할 수 있습니다. 또한 해석학을 공부하다 보면 미적분학의 다양한 개념을 구체화하고 또 마음껏 확장해 보면서, 훨씬 더 자유롭고 유연한 수학의 세계를 발견할 수 있을 겁니다 :) 우리의 .. 더보기
정수와 곱셈, 유리수의 정의 정수의 정의 제 블로그의 글 중 자연수의 정의에 대해 다뤄본 적이 있습니다. 자연수는 페아노 공리계를 이용해 정의했었죠. 그러면 자연수에서 나아가 정수, 유리수, 실수는 어떻게 정의할 수 있을까요? 먼저 정수는 생각보다 정의하기 쉽습니다. 먼저 덧셈에 대한 항등원을 0으로 정의한 뒤, 역원을 아래와 같이 정의합니다. (역원, 항등원이 뭔지 모른다면 클릭) 1. $0$의 정의: $0$을 덧셈에 대한 항등원으로 정의한다. 즉, $0$은 모든 자연수 $n$에 대해 $n+0=n$을 만족하는 수로 정의한다. 2. $-n$의 정의: 자연수 $n$의 덧셈에 대한 역원을 $-n$로 정의한다. 즉, $-n$는 $n + (-n) = 0$을 만족하는 수로 정의한다. 모든 자연수의 역원의 집합을 $\mathbb{N}^-$로 .. 더보기
정수론 (8) - RSA 암호 저번에 오일러 공식에 대해 알아보았습니다. 이번에는 오일러 공식의 가장 유용한 응용인 RSA 암호에 대해서 알아보도록 하겠습니다. RSA 암호의 개요 다음과 같은 시나리오를 생각해봅시다. 두 명의 사람 A, B가 있습니다. A는 B에게 보석을 배달받아야 합니다. 그런데 A, B 사이에는 보석을 노리는 사람들이 너무 많습니다. 어떻게 하면 중간에 보석을 뺏길 일 없이 안전하게 배달을 완료할 수 있을까요? 한 가지 훌륭한 방법은 다음과 같습니다 먼저 A는 집에 있는 자물쇠와 상자를 B에게 보냅니다. (A는 자물쇠의 열쇠도 가지고 있습니다) B는 보석을 상자 안에 넣고 자물쇠로 잠군 뒤, A에게 보냅니다. A는 자물쇠를 풀고 보석을 얻습니다. 이 방식은, 자물쇠는 누구나 잠굴 수 있으나 푸는 것은 열쇠가 있는.. 더보기
정수론 (7) - 확장 유클리드 알고리즘 RSA 암호 얘기로 넘어가기 전에 한 가지 더 알아야 할 것이 있습니다. 바로 확장 유클리드 알고리즘입니다. 확장 유클리드 알고리즘 정수론 (2) - 베주 항등식 에서 베주 항등식에 대해서 알아봤습니다. 베주 항등식의 내용은 다음과 같았습니다. $a, b$에 대하여 $ax + by = \text{gcd}(a, b)$를 만족하는 정수 $x, y$가 존재한다. 그런데 베주 항등식은 이러한 $x, y$의 존재성에 대해서만 얘기하고 실제로 $x, y$를 어떻게 구하는지에 대해서는 언급하지 않습니다. 하지만 확장 유클리드 알고리즘을 활용하면 구할 수 있습니다. 사실 확장 유클리드 알고리즘은 유클리드 알고리즘을 거꾸로 하면 됩니다. 단계는 아래와 같습니다. 먼저 유클리드 호제법을 통해 $a, b$의 최대공약수를 구.. 더보기
정수론 (6) - 오일러의 정리와 오일러 파이 함수 저번에는 페르마 소정리에 대해서 알아보았습니다. $$ a^{p-1} \equiv 1 \mod p \quad \text{(단, $a$와 $p$는 서로소)} $$ 이번엔 페르마 소정리의 일반화 버전인 오일러 정리를 보도록 하겠습니다. 오일러 정리는 아래와 같습니다. $$ a^{\varphi(n)} \equiv 1 \mod n \quad \text{(단, $a$와 $n$은 서로소)} $$ 여기서 $\varphi(n)$ 은 오일러 파이 함수 (Euler Phi Function) 으로 불리는 함수로, 1부터 $n$ 까지 $n$ 과 서로소인 수들의 개수입니다. 예를 들어서 $\varphi (10)$ 을 구하면, 10과 서로소인 수는 1, 3, 7, 9이므로, $\varphi(10) = 4$ 입니다. 눈치 좋은 분들.. 더보기
정수론 (5) - 페르마의 소정리 저번에 합동식에서 나눗셈을 하기 위한 조건에 대해서 알아보았습니다. 이 내용을 바탕으로 정수론에서 매우 중요하게 다뤄지는 정리인 페르마 소정리에 대해서 알아보겠습니다. 페르마 소정리는 아래와 같습니다. (단, $p$는 소수, $a$는 $p$의 배수가 아닌 정수) $$ a^{p-1} \equiv 1 \mod p $$ 예를 들어서 $p = 7, a = 12$ 라고 하면, $$ 12^{7-1} = 12^{6} = 2985984 \equiv 1 \mod 7 $$ 이 됩니다. 암호학의 핵심이 되는 정리라고 할 수 있죠. 이 정리가 어떻게 응용될 수 있는지는 나중에 더 보기로 하고, 이번 글에서는 이 정리의 증명에 집중하겠습니다. 페르마 소정리의 증명 다음과 같은 크기 $p-1$의 집합을 살펴보겠습니다. (단, $.. 더보기

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