거리 공간

해석학 시리즈 목차

 

더 높은 차원에서의 극한

첫 글에서 말했다시피 해석학의 첫 번째 목적은 미적분학을 엄밀히 정의하는 것이고, 두 번째 목적은 미적분학의 개념을 다양하게 확장하는 것입니다. 거리 공간은 두 번째 목적의 한 예시입니다. 거리 공간은 우리가 일반적으로 아는 거리를 확장한 개념입니다. 우리가 일반적으로 아는 1차원의 두 점 $x, y$ 사이의 거리는 다음과 같습니다.

\[ |y - x| \]

그리고 위의 식은 미적분학에서 가장 중요하게 쓰이는 식 중 하나입니다. 극한의 엡실론-델타 정의에서 중요하게 사용되죠.

 

극한의 정의(Ver 1). $\lim_{x \rightarrow a}f(x)$는 아래와 동치이다.
\[ \forall \epsilon > 0 \;\; \exists \delta > 0 \quad s.t. \quad |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \epsilon \]

 

위의 정의에서 $|x-a|$는 $a$와 $x$ 사이의 거리를, $|f(x) - L|$은 $f(x)$와 $L$ 사이의 거리를 의미합니다. 하지만 두 점 사이의 거리가 $|y-x|$인 경우는 1차원에만 한정되는 이야기입니다. 차원을 2차원으로 늘리면, 두 점 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ 사이의 거리는 아래와 같이 정의됩니다.

\[ \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

그렇다면 정의역이 2차원이고 치역이 1차원인 함수 $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$의 극한은 아래와 같이 정의할 수 있습니다.

\[ \forall \epsilon > 0 \;\; \exists \delta > 0 \quad s.t. \quad \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \epsilon \]

식이 조금 길어졌지만 천천히 읽어보면, 아까 전의 정의와 달라진 것은 거의 없습니다. 대신 정의역이 1차원에서 2차원이 됐기 때문에, 그에 상응하여 엡실론 델타 정의의 정의역 부분에 해당되는 $|x-a|$를 2차원에서의 거리 $\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}$로 바꿔주었을 뿐입니다.

그렇다면 정의역이 2차원이고 치역도 2차원인 함수 $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$도 문제없이 아래와 같이 정의할 수 있습니다. 대신 식이 꽤 길어서 여러분들에게 공황감을 조성할 수 있기 때문에, 더보기를 클릭해야지 보이도록 숨겼습니다. (ㅎㅎ잘했죠?)

 

\[\begin{gather} \lim_{(x, y) \rightarrow (a, b)}(f(x, y), g(x, y)) = (L_1, L_2) \Longleftrightarrow \forall \epsilon > 0 \;\; \exists \delta > 0 \quad s.t. \\ \quad \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} < \delta \Rightarrow \sqrt{(f(x, y) - L_1)^2 + (g(x, y) - L_2)^2} < \epsilon \end{gather} \]

 

지금까지 우리가 한 내용은, 다음과 같이 일반화할 수 있습니다.

 

극한의 정의(Ver 2). 함수 $f: X \rightarrow Y$에 대해, $a \in X$, $L \in Y$라고 하자. $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L$는 아래와 동치이다.
\[ \forall \epsilon > 0 \;\; \exists \delta > 0 \quad s.t. \quad d_1(x, a) < \delta \Rightarrow d_2(f(x), L) < \epsilon \] 단, $d_1(x, a)$는 $X$에서 정의된 $x$와 $a$ 사이의 거리, $d_2(f(x), L)$은 $Y$에서 정의된 $f(x)$와 $L$ 사이의 거리를 의미한다.

 

유클리드 거리와 택시 거리

$n$차원에서의 거리는 일반적으로 아래와 같이 정의합니다. 일반적인 의미에서의 거리를 유클리드 거리라고 합니다.

 

유클리드 거리. $(x_1, x_2, \cdots, x_n), (y_1, y_2, \cdots, y_n)$ 사이의 거리를 아래와 같이 정의한다.
\[ \lbrace (x_1 - y_1)^n + (x_2 - y_2)^n + \cdots (x_n - y_n)^n \rbrace ^{1/n} \]

 

하지만 유클리드 거리는 어떤 상황에서는 그리 적합하지 않은 거리일 수도 있습니다. 예를 들어서 체스판의 룩(가로, 세로로만 움직일 수 있는 체스의 말)의 입장에서 유클리드 거리는 그닥 쓸모가 없습니다. 아래와 같이 4x4 체스판의 오른쪽 아래 귀퉁이의 룩이 있다고 합시다. 이 룩이 오른쪽 위의 귀퉁이로 가기 위해서 이동해야 하는 거리는 얼마일까요? 격자판 하나의 길이를 1이라고 하면, 룩과 귀퉁이 사이의 유클리드 거리는 $\sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$ 입니다. 하지만 룩은 가로, 세로로밖에 못 움직이기 때문에, 실제로 룩이 이동해야 하는 거리는 $3 + 3 = 6$ 입니다.

룩의 경우와 같이 가로, 세로로만 이동할 수 있는 물체(일부 로봇, 계획도시에서 자동차의 이동, 인형뽑기 기계, 미로에 갇힌 사람 등) 입장에서의 거리를 더 잘 설명하기 위해 수학자들은 새로운 거리를 도입했습니다. 바로 택시 거리(Taxicab distance)라는 것입니다. 택시 거리는 아래와 같이 정의됩니다.

 

(2차원에서의) 택시 거리. 두 점 $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ 사이의 택시 거리를 아래와 같이 정의한다.
\[ |x_2 - x_1| + |y_2 - y_1| \]

 

택시 거리는 가로 세로 격자판에서 한 점에서 다른 점으로 가기 위해 이동해야 하는 총 걸음 수를 의미합니다. 예를 들어 아래 그림을 보면 이해가 되실 겁니다.

위의 그림에서 아시겠지만, 택시 거리는 체스판에서 룩의 움직임을 나타내는데 정말 최격입니다. 게다가 체스판을 45도 돌리면, 비숍(대각선으로 이동하는 체스의 말)의 이동도 택시 거리로 나타낼 수 있습니다. 때문에 택시 거리는 최적의 체스 알고리즘을 구하는데 쓰이며, 뿐만 아니라 압축 센싱(Compression Signaling)이라는 신호 처리 기법, 진동수 분포 분석 등에 사용된다고 합니다.

 

참고로 택시 거리는 굳이 2차원에 한정될 필요가 없습니다. 아래와 같이 임의의 차원으로 확장할 수 있습니다.

 

택시 거리(Taxicab Distance). 두 점 $(x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n)$, $(y_1, y_2, y_3, \cdots, y_n)$ 사이의 택시 거리를 아래와 같이 정의한다.
\[ |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2| + |x_3 - y_3| + \cdots |x_n - y_n| \]

 

예를 들어 3차원에서의 택시 거리는, 가로, 세로, 위아래로 움직일 수 있는 물체 입장에서의 거리라고 할 수 있습니다. 또다른 거리를 알아봅시다. 쳬비셰프 거리(Chebyshev Distance)란 아래와 같이 정의됩니다.

 

체비셰프 거리(Chebyshev Distance). 두 점 $(x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n)$, $(y_1, y_2, y_3, \cdots, y_n)$ 사이의 택시 거리를 아래와 같이 정의한다.
\[ \max \biggl( {| x_1 - y_1 |}, \; {| x_2 - y_2 |}, \; \cdots \; , \; {| x_n - y_n |} \biggl) \]

 

설명의 편의를 위해 일단 2차원에서의 체비셰프 거리를 알아봅시다. 2차원에서의 체비셰프 거리는 아래와 같겠네요.

\[ \max \biggl( |x_1 - y_1|, \; |x_2 - y_2| \biggl) \]

택시 거리는 가로, 세로로 이동하는 물체의 거리였습니다. 위 식이 의미하는 것은 뭘까요? 그림을 그려보면 쉽게 이해할 수 있습니다. 먼저 기준점에서 체비셰프 거리 1만큼 떨어진 점들은 아래와 같습니다.

즉, 체비셰프 거리는 가로, 세로, 대각선으로 이동할 수 있는 물체의 거리입니다. 예시를 더 들어주자면 아래와 같습니다.

체비셰프 거리 역시 택시 거리 못지않게 매우 많은 곳에서 쓰입니다. 체스를 예로 들자면 체비셰프 거리는 킹과 퀸(가로, 세로, 대각선으로 이동할 수 있는 체스의 말)의 이동 거리를 잘 표현합니다. 이외에도 체비셰프 거리는 로지스틱에서 두 집단 사이의 유사도를 비롯해 통계의 여러 분야에 쓰인다고 합니다.

 

거리 공간

이렇듯 상황에 따라서는 유클리드 거리보다는, 새로운 거리를 정의하는 것이 더 유용합니다. 하지만 그렇다고 아무 함수나 정의하고는 거리라고 마구잡이로 우기면 좀 곤란할 듯 합니다. 예를 들어서 우리가 새로운 거리 $d$를 정의했는데, $A$부터 $B$까지의 거리 $d(A, B)$는 1이고, $B$부터 $A$까지의 거리 $d(B, A)$는 1이 아니라면 $d$를 거리라고 부르기는 조금 무색할 듯 합니다. 때문에 수학자들은 거리가 갖추어야 할 몇 가지 조건을 아래와 같이 정리했습니다.

 

거리의 조건. 집합 $X$ 위에서 정의된 거리 $d$는 아래 조건을 만족해야 한다. 단 $x, y, z$는 임의의 $X$의 원소이다.

1. $d(x, x) = 0$
2. $x \neq y$라면, $d(x, y) > 0$
3. $d(x, y) = d(y, x)$
4. $d(x, y) + d(y, z) \geq d(x, z)$

 

1~3번은 우리가 거리 함수에게 직관적으로 기대하는 성질들입니다. 그리고 4번은 삼각부등식이네요. 유클리드 거리는 당연히 위의 4개의 조건을 만족합니다. 택시 거리와 체비셰프 거리도 위의 4개의 조건을 만족합니다. 4번이 조금 미심쩍어 보일 수도 있으나, $x_1, x_2, y_1, y_2, z_1, z_2$ 등의 대소를 모두 일일이 따져보면 과연 삼각부등식을 만족한다는 것을 보일 수 있습니다.

 

집합 $X$와, $X$에서 정의된, 위의 4개의 조건을 모두 만족하는 $d$를 묶어 거리 공간이라고 정의합니다.

 

거리 공간. 집합 $X$에서 정의된 거리 $d$가 거리의 4가지 조건을 모두 만족할 때, $(X, d)$를 거리 공간이라고 한다.

 

거리 공간에서의 극한

거리 공간의 개념을 사용하여 우리는 극한의 정의를 더욱 확장할 수 있습니다.

 

극한의 정의(Ver 3). 두 거리 공간 사이의 함수 $f: (X, d_1) \rightarrow (Y, d_2)$에 대해, $a \in X$, $L \in Y$라고 하자. $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L$는 아래와 동치이다. \[ \forall \epsilon > 0 \;\; \exists \delta > 0 \quad s.t. \quad d_1(x, a) < \delta \Rightarrow d_2(f(x), L) < \epsilon \]

 

보시면 알겠지만 원래 입델에서 $|x - a|$였던 부분이 일반화되어 $d_1(x, a)$가 되었고, $|f(x) - L|$였던 부분은 $d_2(f(x), L)$이 되었습니다. 이제 우리는 극한의 개념을 일반적인 직선, 평면, 공간 따위에서 벗어나, 훨씬 더 다양한 경우에도 극한을 적용할 수 있습니다. 마음만 먹으면, 택시 거리 공간에서 체비쇼프 거리 공간으로 가는 극한도 아래와 같이 정의할 수 있습니다.

 

택시 거리 공간에서 체비쇼프 거리 공간으로 가는 극한. $d_1$을 택시 거리 함수, $d_2$를 체비쇼프 거리 함수라고 하자. 함수 $f: (\mathbb{R}^2, d_1) \rightarrow (\mathbb{R}^2, d_2)$에 대해, $a \in X$, $L \in Y$라고 하자. $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L$는 아래와 동치이다.
\[ \forall \epsilon > 0 \;\; \exists \delta > 0 \quad s.t. \quad d_1(x, a) < \delta \Rightarrow d_2(f(x), L) < \epsilon \]

 

하지만 대부분의 경우 이들 극한은 전혀 와닿지가 않습니다. 택시 거리에서 체비쇼프 거리라...뭐 일단 쓸모도 없어 보일 뿐더러 직관적으로 와닿지도 않습니다. 그러니까 '음...정의할 수는 있겠는데 굳이?' 라는 느낌이 드네요. 거리 공간의 극한은 지금은 굳이 필요도 없는데 왜 정의했을까 하는 의문이 드는 개념이긴 합니다. 하지만 거리 공간의 극한은 위상수학을 만나며 화려하게 사용됩니다. 이것과 관련된 내용은 지금 다루기에는 아직 먼 개념이지만, 해석학에 있어서 거리 공간이 매우 중요한 개념이라는 것만큼은 기억해 주셨으면 좋겠습니다.

 

다음 글에서는 거리 공간 위의 점들의 다양한 특징에 대해 알아보겠습니다.

 

해석학 시리즈 목차