단조 수렴 정리의 증명

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단조 수렴 정리는 미적분학에서 단골로 우려먹는 정리입니다.

 

단조 수렴 정리 (Monotone convergence theorem). 수열 $\lbrace a_n \rbrace$가 위로 유계인 단조증가수열이라고 하자. 즉, 모든 $n$에 대해 $a_{n+1} \geq a_n$이다. 이 때, $\lbrace a_n \rbrace$는 수렴한다.

 

위 정리를 증명하기에 앞서 수렴의 정의를 알아야 합니다. 가물가물한 $\epsilon - N$ 논법을 떠올려 봅시다.

 

$\epsilon - N$ 논법. 수열 $\lbrace a_n \rbrace$가 $L$로 수렴하는 것과 아래 명제는 동치이다.
\[ \forall \epsilon > 0 \; \; \exists N > 0 \quad s.t. \quad n > N \Rightarrow |a_n - L| < \epsilon \]

 

아 맞아요. 이제 기억이 나네요. 위의 수렴의 정의와 실수의 완비성으로 단조 수렴 정리를 증명할 수 있습니다.

 

증명. 실수의 완비성으로 인해 $\mu = \sup \lbrace a_n \rbrace $가 존재합니다. 즉, 임의의 실수 $\epsilon > 0$에 대해서 $\mu - \epsilon < a_k$ 인 자연수 $k$가 존재합니다. 때문에 $n>k$인 자연수 $n$에 대해,

\[ \mu - \epsilon < a_k \leq a_n \leq \mu < \mu + \epsilon \]

가 성립합니다. 즉, 모든 실수 $n > k$에 대해서 $|a_n - \mu | < \epsilon$ 입니다. 즉, 수렴의 정의로부터 $\lbrace a_n \rbrace \rightarrow L$임이 보여졌습니다.

 

오잉 끝나버렸네요. 생각보다 간단하죠?

다음 글에서부터는 다시 해석학의 새로운 개념을 탐구해 보겠습니다.

 

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