정수와 곱셈, 유리수의 정의

정수의 정의

제 블로그의 글 중 자연수의 정의에 대해 다뤄본 적이 있습니다.

자연수는 페아노 공리계를 이용해 정의했었죠.

그러면 자연수에서 나아가 정수, 유리수, 실수는 어떻게 정의할 수 있을까요?

먼저 정수는 생각보다 정의하기 쉽습니다.

먼저 덧셈에 대한 항등원을 0으로 정의한 뒤, 역원을 아래와 같이 정의합니다. (역원, 항등원이 뭔지 모른다면 클릭)

1. $0$의 정의: $0$을 덧셈에 대한 항등원으로 정의한다. 즉, $0$은 모든 자연수 $n$에 대해 $n+0=n$을 만족하는 수로 정의한다.
2. $-n$의 정의: 자연수 $n$의 덧셈에 대한 역원을 $-n$로 정의한다. 즉, $-n$는 $n + (-n) = 0$을 만족하는 수로 정의한다.

 

모든 자연수의 역원의 집합을 $\mathbb{N}^-$로 표기하면, 정수의 정의는 자연스럽게 따라옵니다.

 

정수 집합 $\mathbb{Z}$는 $\mathbb{N} \cup \mathbb{N}^- \cup { \{0 \} }$ 이다.

 

곱셈의 정의

그러면 정수도 깔끔하게 정의했겠다, 남은 건 유리수와 실수입니다.

먼저 유리수를 정의하기 위해서는 나눗셈을 정의해야 하며, 이를 위해서는 곱셈을 정의해야 합니다.

곱셈은 생각보다 정의하기 쉽습니다. 곱셈의 정의 역시 페아노 공리계를 사용합니다.

 

곱셈 연산 $\times$을 아래 두 개의 성질을 만족하는 연산으로 정의한다. 임의의 자연수 $n, m$에 대하여,

1.    $x \times 0 = 0$
2.    $x \times y' = (x \times y) + x$

 

짠! 생각보다 단순하죠? 예를 들어 $3 \times 2 = 6$은 아래와 같이 증명할 수 있습니다.

\[ \begin{align}
3 \times 2 &= 3 \times 1' \\
&= (3 \times 1) + 3 \\
&= (3 \times 0') + 3 \\
&= ((3 \times 0) + 3) + 3 \\
&= 0 + 3 + 3 = 6
\end{align} \]

흥미로운 사실은, 이 정의로부터 중학교 때 도통 이해가 되지 않았던 $(-1) \times (-1) = 1$도 보일 수 있다는 점입니다.

\[ \begin{align}
0 &= (-1) \times 0 \\
&= (-1) \times (-1)' \\
&= ((-1) \times (-1)) + (-1) \\ \\
&\therefore 1 = (-1) \times (-1) \end{align} \]

유리수의 정의

곱셈을 정의했으니 유리수를 정의할 수 있습니다. 유리수는 아래와 같은 정수쌍으로 정의합니다.

\[ q = (n, m) \quad (n, m \in \mathbb{Z}, m \neq 0)\]

단, 두 유리수 $q_1 = (a, b), q_2 = (c, d)$에 대해 다음이 성립할 때, $q_1 = q_2$로 정의합니다.

\[ ad = bc \Leftrightarrow q_1 = q_2 \]

마지막으로 다음과 같이 조금 더 익숙한 표기법을 정의해 주면, 우리가 알고 있는 유리수가 등장합니다.

\[ (n, m) = n/m \]

사실 가장 엄밀한 유리수의 정의는 등호에 의한 몫군이라는 개념을 사용합니다.

등호에 의한 몫군이란, 적절히 정의된 등호 관계가 성립하는 원소들은 모두 동일한 원소로 보겠다는 의미입니다.

예를 들어 모듈러 3에 의한 몫군에서는, 0, 3, 6, 9, ... 따위의 수는 모두 동일한 원소가 되는 셈이죠.

대충 감 잡히시겠지만, 실제 유리수의 정의는 $ad = bc \Leftrightarrow q_1 = q_2$를 등호 관계로 하는 몫군으로 정의합니다.

이제 남은 건 실수로구만...

하지만 실수는 정의하기가 조금 까다롭습니다.

아시다시피 실수는 단순히 나눗셈만 가지고는 정의할 수가 없기 때문이죠.

수학자들은 실수를 어떻게 정의할 지 오랫동안 고민을 해왔고, 그 결과 실수의 완비성이라는 개념을 떠올리게 됩니다.

실수의 완비성에 대한 내용은 이 글(Coming Soon)에서 계속 보실 수 있습니다.