√2는 무리수이다 증명

왜 $\sqrt{2}$가 자연수로 표현될 수 없는지 알아보겠습니다. 일단 $\sqrt{2}$가 자연수가 아니라는 사실은 명백합니다. $1$을 제곱하면 $1$이고, $2$를 제곱하면 $4$이므로, $\sqrt{2}$는 $1$과 $2$ 사이에 있는 수입니다. 그러므로 만약 $\sqrt{2}$가 자연수로 표현된다면, $\sqrt{2} = n/m$ (단, $n$과 $m$은 자연수)의 꼴이어야 합니다. $\sqrt{2} = n/m$의 양변을 제곱하면 $2 = n^2/m^2$을 얻습니다. 즉,

 

$2m^2 = n^2$

 

입니다. 여기서 소인수분해의 유일성이라는 성질을 사용하겠습니다. 이에 앞서, 먼저 소인수분해와 관련된 몇 가지 사실을 집고 넘어가겠습니다.

 

먼저 소수란 $1$과 자기 자신으로만 나누어 떨어지는 수를 의미합니다. 예를 들어서 $2, 3, 5, 7, 11$ 등은 소수입니다. 하지만 $6$은 $2$와 $3$으로 나누어 떨어지므로 소수가 아닙니다.

 

소인수분해란, 주어진 수를 소수의 곱으로 표현하는 것입니다. 어떤 수의 소인수분해는 유일합니다. 그리고 어떤 수를 소인수분해했을 때 등장하는 소수를 그 수의 인수라고 부릅니다.

 

숫자 $600$을 예로 들자면,

• 600 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5 로 쓸 수 있으며, 2, 3, 5는 모두 소수이므로, 이것이 600의 소인수분해입니다.
• 600을 2³ × 3 × 5² 이외의 표현으로 소인수분해 할 수 없습니다.
• 600은 3개의 2와, 1개의 3과, 2개의 5를 인수로 가집니다.

이것을 유념하며 다시 $\sqrt{2}$ 이야기로 돌아오겠습니다. 소인수분해의 유일성에 의해서, $m$과 $n$은 각각 정해진 개수만큼의 $2$를 인수로 가집니다. 가령 $m$은 $x$개의 $2$를, $n$은 $y$개의 $2$를 인수로 가진다고 할게요. 그러면 $n$을 두 번 곱한 $n^2$은 $2y$개의 $2$를 인수로 가지고, $2m^2$은 $2x + 1$개의 $2$를 인수로 가집니다.

 

앞서 우리는 $2m^2 = n^2$임을 확인했습니다. 좌변의 $2m^2$은 $2x + 1$, 즉 홀수 개의 $2$를 인수로 가집니다. 그런데 우변의 $n^2$은 $2y$, 즉 짝수 개의 $2$를 인수로 가집니다. 이것은 모순입니다! 애초부터 $\sqrt{2}$는 $n/m$의 꼴로 표현할 수 없던 것입니다. 이로써 $\sqrt{2}$는 두 자연수의 비로 나타낼 수 없는 무리수임이 증명되었습니다. ◾️