열린 공, 근방, 내부점, 경계점

해석학 시리즈 목차

 

이번 글에서는 추후의 논의를 위해 몇 가지 용어를 정리하겠습니다.

 

열린 공 (Open ball)

열린 공(Open ball). 거리 공간 $(X, d)$ 위의 점 $a$를 중심으로 하는 반지름 $r$의 열린 공 $B_r(a)$를 다음과 같이 정의한다.
\[B_r(a) = \lbrace x | d(x, a) < r \rbrace \]

 

유클리드 거리 공간에서 열린 공은 우리가 일반적으로 생각하는 공과 똑같습니다. 3차원의 공은 구가 되고, 2차원의 공은 원이 되고, 1차원의 공은 선분이 됩니다. 주의할 점은, 열린 공의 정의는 $\leq$가 아닌 $<$를 사용하기 때문에, 경계에 있는 점들은 열린 공의 원소가 아닙니다. 이 사실을 표현하기 위해 열린 공의 경계는 아래와 같이 점선으로 표현하겠습니다.

유클리드 공간이 아닌 다른 거리 공간에서는, 열린 공의 모습도 다소 다르게 나타납니다. 예를 들어 저번 글에서 봤던 택시 거리 공간에서 열린 공간은 아래와 같이 다이아몬드 형태를 하고 있습니다. 다이아몬드의 경계점의 점들이 모두 $d(a, x) = r$을 만족하는 점들이고, 그 점들의 내부가 열린 공에 속하는 원소이죠. 한편 체비셰프 거리 공간에서는 아래와 같이 정사각형으로 원이 나타납니다.

열린 공은 해석학에서 일종의 자(ruler)라고 생각하면 좋습니다. 즉, 어떤 점 $x$가 $B_2(a)$에는 속하는데, $B_1(a)$에는 속하지 않는다면, $1 \leq d(a, x) < 2$ 임을 알 수 있습니다(열린 공의 정의에 유의하며 부등호에 등호를 쓸 지 말 지 결정해야 합니다). 즉, 열린 공은, 거리를 집합을 이용하여 측정하기 위한 도구라고 할 수 있습니다. 이 시리즈의 뒷부분에 위상(topology)라는 개념이 등장하는데, 그 때는 이 아이디어를 극도로 확장하여 거리라는 개념을 새로운 관점으로 바라보게 될 것입니다.

 

 

열린 집합 (Open set)

이름에서 알 수 있듯이, 열린 집합은 열린 구의 확장 버전입니다. 직관적으로 열린 집합은, 경계를 포함하지 않는 집합입니다. 고등학교 미적분에서 배운 열린 구간도 열린 집합의 한 예시입니다. $S$가 열린 집합이라고 할 때, 이 집합에 속하는 점과 그렇지 않은 점은 아래와 같습니다.

마음과 같아서는 다음과 같이 열린 집합을 정의하고 싶습니다.

 

열린 집합(틀린 정의). 경계와 외부의 점을 포함하지 않는 집합을 열린 집합으로 정의한다.

 

그런데 해석학에서는 먼저 열린 집합을 정의한 뒤, 경계를 정의합니다. 때문에 열린 집합의 정의를 '경계를 포함하지 않는 집합'이라고 할 수 없습니다. 그러면 순환논법이 되겠죠. 대신 열린 공을 이용해서, 열린 집합을 정의할 수 있습니다. 열린 집합의 올바른 정의는 아래와 같습니다.

 

열린 집합(Open set). 집합 $S$가 거리 공간 $(X, d)$의 한 집합이라고 하자. $S$의 임의의 원소 $x$에 대해, $B_\epsilon (x) \subset S$를 만족하는 양수 $\epsilon$이 존재한다면, $S$는 열린 집합이다.

 

이 정의는 해석학에서 제가 좋아하는 정의 중 하나입니다. 경계라는 정의하기 애매한 개념을, 주변에 원을 그릴 수 있는가? 라는 질문으로 지혜롭게 해결합니다. 위의 그림으로 예시를 들자면, $a$는 당연하게 주위에 원을 그릴 수 있습니다. $b$는 좀 힘들긴 하지만 그래도 분명 그릴 수는 있습니다. 하지만 경계에 있는 $c$의 경우, 아무리 원을 작게 그린다 한들 절대로 그 원이 집합 $S$에 속할 수 없습니다. $d$는 시도해 볼 가치도 없네요. 따라서 $a, b$만이 $S$ 내부의 점입니다. 그리고 $S$의 모든 원소가 이런 내부에 속한 점이라면, $S$는 열린 집합이 될 것입니다.

 

근방 (Neighborhood)

근방(Neighborhood). 거리 공간 $(X, d)$의 한 점 $x$에 대해, $x$를 포함하는 열린 집합 $U$를 포함하는 집합 $V$를 $x$의 근방(neighborhood of $x$)이라고 정의한다.

 

와, 말이 배배 꼬였네요. 이런 건 언어로 풀기보다는 수식으로 보는 편이 훨씬 낫습니다. 만약 $V$가 $x$의 근방이라면, $V$는 다음과 같은 성질을 가집니다.

\[ \exists U \quad s.t. \quad x \in U \subset V \quad \text{(단, $U$는 열린 집합)} \]

쉽게 말해 $x$의 근방은 말 그대로, $x$의 주변을 포함하는 집합입니다. 그러면 그냥 $x \in V$라고 하면 되지 왜 굳이 $x \in U \subset V$처럼, 사이에 열린 집합을 끼워 놓냐면 $x$ 주변의 점도 포함하는 집합임을 말하고 싶기 때문입니다. 예를 들어, 아래와 같이 $x$ 혼자만 덩그러니 있는 상황을 제외하기 위해서입니다.

\[ V = \lbrace x \rbrace \]

한 가지 덧붙일 점은, 근방은 열린 집합이 아니어도 된다는 것입니다. 예를 들어 아래 집합도, $x = 0$의 근방이 맞습니다.

\[ V = \lbrace x | -1 \leq x \leq 1 \rbrace \]

하지만 일부 수학자는 근방도 열린 집합이어야 된다는 조건을 추가하기도 합니다. 이는 케바케이므로, 저자가 근방이라는 용어를 어떻게 정의하는지 주의깊게 볼 필요가 있습니다.

 

 

내부, 외부, 경계의 정의

위의 논의를 통해, 내부점을 아래와 같이 정의할 수 있습니다.

 

내부점(Interior point). 집합 $S$가 거리 공간 $(X, d)$의 한 집합이라고 하자. $S$의 임의의 원소 $x$가 아래의 조건을 만족할 때, $x$는 $S$의 내부점이다.
\[ \exists \epsilon > 0 \quad s.t. \quad B_\epsilon (x) \subset S \]

 

외부점은 대다수의 책에서 따로 정의하지 않습니다. 그냥 $S$에 속하지 않는 점일 뿐이니까요. 그래도 빼먹으면 불쌍하니까 여기서라도 정의해줍시다.

 

외부점(Outer point). $x \notin S$일 때, $x$는 $S$의 외부점이다.

 

그럼 경계점은 어떻게 정의할까요? 경계점의 특징은 경계점의 모든 근방은 $S$에 속하는 점과 $S$에 속하지 않는 점을 모두 포함한다는 점입니다. 이는 내부점이나 외부점과는 명확히 구별되는 성질입니다. 이 성질로 경계점을 정의할 수 있습니다.

 

경계점(Boundary point). 점 $x \in S$의 근방이 항상 $S$에 속하는 점과 $S$에 속하지 않는 점을 포함할 때, $x$는 $S$의 경계점이다.

 

예시를 들어 보겠습니다. 아래와 같은 집합 $S$를 생각해 봅시다.

\[ S = \lbrace 0 \rbrace \cup [1, 2) \]

위 집합의 경계점은 $0, 1, 2$입니다.

$0$이 경계점이라는 사실이 조금 의아할 수도 있지만 경계점의 정의를 따라가다 보면 과연 $0$도 경계점임을 알 수 있습니다.

모든 $0$의 근방은 $0$을 포함하며, $0$은 $S$의 원소입니다.

또한 모든 $0$의 근방은 $S$에 속하지 않는 $0$ 주변의 점들을 포함합니다.

따라서 $0$은 $S$의 근방이 맞습니다.

 

이제 우리는 기초 해석학에서 사용하는 4가지 분류의 점 중 내부점과 경계점, 2개를 알아봤습니다. 나머지 2개는 아래와 같습니다.

 

극한점(Limit Point), 고립점(Isolated Point)

 

이들에 대해서는 다음 게시글에서 알아보도록 하겠습니다!

 

해석학 시리즈 목차