라플라스 변환을 이용한 미분방정식의 풀이

라플라스 변환

라플라스 변환은 미분방정식 최후의 수단입니다.
비록 라플라스 변환으로 미분방정식을 푸는 과정은 매우 길고 복잡하지만, 왠만한 선형미방은 다 풀 수 있습니다. 심지어 불연속 함수가 있는 방정식까지요.
오늘은 라플라스 변환에 대해 알아보겠습니다.

정의

라플라스 변환은 아래와 같이 정의됩니다.
$$
\mathcal{L}\lbrace f(t) \rbrace = \int^\infty_0 e^{-st} f(t)dt
$$
즉, 라플라스 변환은 $t$에 대한 함수 $f(t)$를 $s$에 관한 함수 $F(s)=\mathcal{L}\lbrace f(t) \rbrace$로 변환합니다.
예시로 지수함수의 라플라수 변환을 보겠습니다.
$$
\begin{align}\mathcal{L}\lbrace e^{-3t}\rbrace &= \int^\infty_0 e^{-st}e^{-3t}dt \\ &= \int^\infty_0 e^{-(s+3)t}dt \&= \left[\frac{-e^{-(s+3)t}}{s+3}\right]^\infty_0 = \frac{1}{s+3} \end{align}
$$
단, 마지막 줄은 $s>-3$일 때만 수렴합니다. 따라서 이 변환의 정의역은 $s>-3$입니다.
나머지 함수의 라플라스 변환 결과는 아래와 같습니다.

$\mathcal{L}\lbrace t^n \rbrace=\frac{n!}{s^{n+1}}$	$\mathcal{L}\lbrace e^{at} \rbrace = \frac{1}{s-a}$
$\mathcal{L}\lbrace \sin kt \rbrace=\frac{k}{s^2+k^2}$	$\mathcal{L}\lbrace \cos kt \rbrace = \frac{s}{s^2+k^2}$
$\mathcal{L}\lbrace \sinh kt \rbrace = \frac{k}{s^2-k^2}$	$\mathcal{L}\lbrace \cosh kt \rbrace = \frac{s}{s^2-k^2}$

한 가지 외우는 팁을 알려드리자면,
$\sin t, \cos t$는 원 위의 점을 나타내기 때문에 라그랑주 변환의 분모가 원의 방정식 꼴을 하고 있고,
$\sinh t, \cosh t$는 쌍곡선 위의 점을 나타내기 때문에 분모가 쌍곡선의 방정식 꼴입니다.
한편 분자의 경우 $\sin$류 함수는 $k$, $\cos$류 함수는 $s$ 입니다.
그래서 저는 "SK텔레콤은 CS(Computer Science) 회사!"라고 외웠습니다 ㅎㅎ;

아직은 이게 어떻게 미방을 푸는지 전혀 모르겠습니다만, 일단 따라와주시기 바랍니다.

성질

함수가 라플라스 변환을 가지기 위해서는 다음 조건을 만족해야 합니다.

정의
$|f(t)| \leq Me^{ct}$를 만족하는 상수 $c, M>0, T>0$가 존재할 때 $f$는 지수차수 $c$인 함수라고 한다.

정리
$f$가 $[0, \infty]$에서 조각 연속이며 지수차수 $c$를 가질 때, $\mathcal{L}\lbrace f(t) \rbrace$는 $s> c$에서 존재한다.

이 정리는 아까 전에서 $\mathcal{L}\lbrace e^{-3t}\rbrace$의 정의역이 $s>-3$인 이유를 설명합니다.
$e^{-3t}$의 지수차수가 $-3$이므로 $s>-3$에서 라플라스 변환을 가집니다.

또한 위의 표를 보면 한 가지 공통점을 눈치챌 수 있습니다.
모든 라플라스 변환은 $s\rightarrow \infty$에서 $0$으로 수렴합니다.
이는 다음 정리로 요약할 수 있습니다.

정리
$f$가 $[0, \infty]$에서 조각 연속이며 지수차수 $c$를 가질 때, $\mathcal{L}\lbrace f(t)$은 $s\rightarrow \infty$에서 $0$으로 수렴한다.

마지막 중요한 점, 라플라스 변환은 선형연산입니다.
이는 정적분이 선형이므로 당연한 결과이지만 매우 중요합니다.

라플라스 역변환

라플라스 역변환은 말 그대로 라플라스 변환을 거꾸로 하는 것입니다.
예를 들어 $\mathcal{L}^{-1} \lbrace \frac{1}{s+3} \rbrace = e^{-3t}$입니다.
위에서 봤다시피 대부분 라플라스 변환은 간단한 (분자)/(분모) 꼴이기 때문에, 라플라스 역변환을 하기 위해서는 부분분수로 최대한 주어진 식을 간단한 유리식으로 바꾸는 것이 좋습니다.
예시는 아래와 같습니다
$$
\begin{align}\mathcal{L}^{-1}\left\lbrace \frac{s^2+6s+9}{(s-1)(s-2)(s+4)} \right\rbrace &= \mathcal{L}^{-1}\left\lbrace -\frac{16/5}{s-1} + \frac{25/6}{s-2} + \frac{1/30}{s+4} \right\rbrace \\ &= \frac{-16}{5}e^t + \frac{25}{6}e^{2t} + \frac{1}{30}e^{-45}\end{align}
$$
부분분수로 바꾸는 과정은 헤비사이드라는 방법을 사용했으니 모르시는 분은 찾아보시길 바랍니다.
마지막 줄에서 라플라스 (역)변환이 선형이라는 성질을 사용했습니다.

도함수의 라플라스 변환

정리

$\mathcal{L}\lbrace f^{(n)}(t) \rbrace = s^n F(s) - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0) - \cdots - f^{(n-1)}(0)$

위 식은 수학적 귀납법으로 보일 수 있는데 과정이 꽤 복잡하므로 생략합니다.
중요한 것은, 이 정리가 라플라스 변환을 미분방정식 풀이의 사기캐로 만들어준다는 것입니다.
백문이 불여일견, 예시를 통해 라플라스 변환을 이용한 미분방정식의 풀이를 보여드리겠습니다.

아래 미분방정식을 풀어보겠습니다.
$$
y' + 3y = 13 \sin 2t, \quad y(0)=6
$$
1단계: 양변에 라플라스 변환을 취한다
$\mathcal{L}\lbrace y \rbrace = Y(s)$라고 두고 라플라스 변환을 취하겠습니다.
$$
\mathcal{L} \lbrace y' + 3y\rbrace = sY(s) - y(0) + 3Y(s) = \mathcal{L} \lbrace 13\sin 2t \rbrace = \frac{26}{s^2+4}
$$
2단계: $Y(s)$를 부분분수로 표현한다
$$
Y(s) = \frac{6s^2+50}{(s+3)(s^2+4)}=\frac{8}{s+3}+\frac{-2s+6}{s^2+4}
$$
3단계: 라플라스 역변환을 취한다.
$$
y = 8e^{-3t} -2 \cos 2t + 3 \sin 2t
$$
짠! 이렇게 라플라스 변환을 이용하여 미분방정식의 해를 구할 수 있습니다.
나중에 기회가 된다면 조금 더 복잡한 함수에 대해서 라플라스 변환을 적용하는 방법을 알아보겠습니다.